ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnesq Unicode version

Theorem nnesq 9766
Description: A positive integer is even iff its square is even. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnesq  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nnesq
StepHypRef Expression
1 nnz 8528 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 zesq 9765 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
4 nnrp 8901 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
54rphalfcld 8944 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  RR+ )
65rpgt0d 8934 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  /  2
) )
7 nnsqcl 9719 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
87nnrpd 8930 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  RR+ )
98rphalfcld 8944 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  e.  RR+ )
109rpgt0d 8934 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( N ^
2 )  /  2
) )
116, 102thd 173 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  ( N  /  2 )  <->  0  <  ( ( N ^ 2 )  /  2 ) ) )
123, 11anbi12d 457 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  / 
2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( N  /  2 ) )  <-> 
( ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N ^ 2 )  /  2 ) ) ) )
13 elnnz 8519 . 2  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  <->  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  2
) ) )
14 elnnz 8519 . 2  |-  ( ( ( N ^ 2 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( N ^ 2 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N ^
2 )  /  2
) ) )
1512, 13, 143bitr4g 221 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565   0cc0 7120    < clt 7292    / cdiv 7904   NNcn 8183   2c2 8233   ZZcz 8509   ^cexp 9649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-mulrcl 7214  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-precex 7225  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-apti 7230  ax-pre-ltadd 7231  ax-pre-mulgt0 7232  ax-pre-mulext 7233
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-frec 6062  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-reap 7819  df-ap 7826  df-div 7905  df-inn 8184  df-2 8242  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778  df-rp 8893  df-iseq 9599  df-iexp 9650
This theorem is referenced by:  sqrt2irrlem  10772
  Copyright terms: Public domain W3C validator