ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nngt0 Unicode version

Theorem nngt0 8131
Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 8113 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnge1 8129 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
3 0lt1 7303 . . 3  |-  0  <  1
4 0re 7181 . . . 4  |-  0  e.  RR
5 1re 7180 . . . 4  |-  1  e.  RR
6 ltletr 7267 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
74, 5, 6mp3an12 1259 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
83, 7mpani 421 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
91, 2, 8sylc 61 1  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    < clt 7215    <_ cle 7216   NNcn 8106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1re 7132  ax-addrcl 7135  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-inn 8107
This theorem is referenced by:  nnap0  8135  nngt0i  8136  nn2ge  8138  nn1gt1  8139  nnsub  8144  nngt0d  8149  nnrecl  8353  nn0ge0  8380  0mnnnnn0  8387  elnnnn0b  8399  elnnz  8442  elnn0z  8445  ztri3or0  8474  nnm1ge0  8514  gtndiv  8523  nnrp  8824  nnledivrp  8918  fzo1fzo0n0  9269  ubmelfzo  9286  adddivflid  9374  flltdivnn0lt  9386  intfracq  9402  zmodcl  9426  zmodfz  9428  zmodid2  9434  m1modnnsub1  9452  expinnval  9576  nnlesq  9675  facdiv  9762  faclbnd  9765  bc0k  9780  dvdsval3  10344  nndivdvds  10346  moddvds  10349  evennn2n  10427  nnoddm1d2  10454  divalglemnn  10462  ndvdssub  10474  ndvdsadd  10475  modgcd  10526  sqgcd  10562  lcmgcdlem  10603  qredeu  10623  znnen  10709
  Copyright terms: Public domain W3C validator