ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nngt0 Unicode version

Theorem nngt0 8713
Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 8695 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnge1 8711 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
3 0lt1 7857 . . 3  |-  0  <  1
4 0re 7734 . . . 4  |-  0  e.  RR
5 1re 7733 . . . 4  |-  1  e.  RR
6 ltletr 7821 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
74, 5, 6mp3an12 1290 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
83, 7mpani 426 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
91, 2, 8sylc 62 1  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    < clt 7768    <_ cle 7769   NNcn 8688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1re 7682  ax-addrcl 7685  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-iota 5058  df-fv 5101  df-ov 5745  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-inn 8689
This theorem is referenced by:  nnap0  8717  nngt0i  8718  nn2ge  8721  nn1gt1  8722  nnsub  8727  nngt0d  8732  nnrecl  8943  nn0ge0  8970  0mnnnnn0  8977  elnnnn0b  8989  elnnz  9032  elnn0z  9035  ztri3or0  9064  nnm1ge0  9105  gtndiv  9114  nnrp  9419  nnledivrp  9521  fzo1fzo0n0  9928  ubmelfzo  9945  adddivflid  10033  flltdivnn0lt  10045  intfracq  10061  zmodcl  10085  zmodfz  10087  zmodid2  10093  m1modnnsub1  10111  expnnval  10264  nnlesq  10364  facdiv  10452  faclbnd  10455  bc0k  10470  dvdsval3  11424  nndivdvds  11426  moddvds  11429  evennn2n  11507  nnoddm1d2  11534  divalglemnn  11542  ndvdssub  11554  ndvdsadd  11555  modgcd  11606  sqgcd  11644  lcmgcdlem  11685  qredeu  11705  divdenle  11802  hashgcdlem  11830  znnen  11838  exmidunben  11866
  Copyright terms: Public domain W3C validator