Theorem nngt1ne1 8217

Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nngt1ne1	|- ( A e. NN -> ( 1 < A <-> A =/= 1 ) )

Proof of Theorem nngt1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7257	. . 3 |- 1 e. RR
2		ltne 7340	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 < A ) -> A =/= 1 )
3	1, 2	mpan 415	. 2 |- ( 1 < A -> A =/= 1 )
4		df-ne 2250	. . 3 |- ( A =/= 1 <-> -. A = 1 )
5		nn1gt1 8216	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( A = 1 \/ 1 < A ) )
6	5	ord 676	. . 3 |- ( A e. NN -> ( -. A = 1 -> 1 < A ) )
7	4, 6	syl5bi 150	. 2 |- ( A e. NN -> ( A =/= 1 -> 1 < A ) )
8	3, 7	impbid2 141	1 |- ( A e. NN -> ( 1 < A <-> A =/= 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   =/= wne 2249   class class class wbr 3806   RRcr 7119   1c1 7121   < clt 7292   NNcn 8183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-ltadd 7231

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2613  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-xp 4398  df-cnv 4400  df-iota 4918  df-fv 4961  df-ov 5568  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-inn 8184

This theorem is referenced by:  prime  8604  eluz2b3  8849  ncoprmgcdne1b  10703  ncoprmgcdgt1b  10704