ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nngt1ne1 Unicode version

Theorem nngt1ne1 8217
Description: A positive integer is greater than one iff it is not equal to one. (Contributed by NM, 7-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nngt1ne1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1  <  A  <->  A  =/=  1 ) )

Proof of Theorem nngt1ne1
StepHypRef Expression
1 1re 7257 . . 3  |-  1  e.  RR
2 ltne 7340 . . 3  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  <  A )  ->  A  =/=  1 )
31, 2mpan 415 . 2  |-  ( 1  <  A  ->  A  =/=  1 )
4 df-ne 2250 . . 3  |-  ( A  =/=  1  <->  -.  A  =  1 )
5 nn1gt1 8216 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  =  1  \/  1  <  A ) )
65ord 676 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( -.  A  =  1  ->  1  <  A ) )
74, 6syl5bi 150 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  =/=  1  ->  1  <  A ) )
83, 7impbid2 141 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1  <  A  <->  A  =/=  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   class class class wbr 3806   RRcr 7119   1c1 7121    < clt 7292   NNcn 8183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-ltadd 7231
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2613  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-xp 4398  df-cnv 4400  df-iota 4918  df-fv 4961  df-ov 5568  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-inn 8184
This theorem is referenced by:  prime  8604  eluz2b3  8849  ncoprmgcdne1b  10703  ncoprmgcdgt1b  10704
  Copyright terms: Public domain W3C validator