ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnle1eq1 Unicode version

Theorem nnle1eq1 8182
Description: A positive integer is less than or equal to one iff it is equal to one. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnle1eq1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  <_  1  <->  A  = 
1 ) )

Proof of Theorem nnle1eq1
StepHypRef Expression
1 nnge1 8181 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
21biantrud 298 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  <_  1  <->  ( A  <_  1  /\  1  <_  A ) ) )
3 nnre 8165 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
4 1re 7232 . . 3  |-  1  e.  RR
5 letri3 7311 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  =  1  <-> 
( A  <_  1  /\  1  <_  A ) ) )
63, 4, 5sylancl 404 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  =  1  <->  ( A  <_  1  /\  1  <_  A ) ) )
72, 6bitr4d 189 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  <_  1  <->  A  = 
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805   RRcr 7094   1c1 7096    <_ cle 7268   NNcn 8158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1re 7184  ax-addrcl 7187  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-cnv 4399  df-iota 4917  df-fv 4960  df-ov 5566  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-inn 8159
This theorem is referenced by:  gcd1  10585  bezoutr1  10629  rpdvds  10688  isprm6  10733  qden1elz  10790  phimullem  10808
  Copyright terms: Public domain W3C validator