ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmcom Unicode version

Theorem nnmcom 6133
Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcom  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )

Proof of Theorem nnmcom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5550 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  .o  B )  =  ( A  .o  B ) )
2 oveq2 5551 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  A
) )
31, 2eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  B )  =  ( B  .o  A ) ) )
43imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x ) )  <-> 
( B  e.  om  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) ) ) )
5 oveq1 5550 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
6 oveq2 5551 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
75, 6eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x )  <->  ( (/)  .o  B
)  =  ( B  .o  (/) ) ) )
8 oveq1 5550 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .o  B )  =  ( y  .o  B ) )
9 oveq2 5551 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
108, 9eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x )  <->  ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y ) ) )
11 oveq1 5550 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  .o  B
)  =  ( suc  y  .o  B ) )
12 oveq2 5551 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1311, 12eqeq12d 2096 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x )  <-> 
( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) )
14 nnm0r 6123 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
15 nnm0 6119 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
1614, 15eqtr4d 2117 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  ( B  .o  (/) ) )
17 oveq1 5550 . . . . . 6  |-  ( ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y )  ->  (
( y  .o  B
)  +o  B )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
18 nnmsucr 6132 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  y  .o  B )  =  ( ( y  .o  B
)  +o  B ) )
19 nnmsuc 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
2019ancoms 264 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
2118, 20eqeq12d 2096 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
)  <->  ( ( y  .o  B )  +o  B )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
2217, 21syl5ibr 154 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y )  ->  ( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) )
2322ex 113 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  .o  B
)  =  ( B  .o  y )  -> 
( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) ) )
247, 10, 13, 16, 23finds2 4350 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x ) ) )
254, 24vtoclga 2665 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  .o  B )  =  ( B  .o  A ) ) )
2625imp 122 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   (/)c0 3258   suc csuc 4128   omcom 4339  (class class class)co 5543    +o coa 6062    .o comu 6063
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070
This theorem is referenced by:  nndir  6134  nn2m  6165  mulcompig  6583  enq0sym  6684  enq0ref  6685  enq0tr  6686  addcmpblnq0  6695  mulcmpblnq0  6696  mulcanenq0ec  6697  nnanq0  6710  distrnq0  6711  mulcomnq0  6712  addassnq0  6714  nq02m  6717
  Copyright terms: Public domain W3C validator