Theorem nnnn0addcl 9000

Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0addcl	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )

Proof of Theorem nnnn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8972	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnaddcl 8733	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
3		oveq2 5775	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
4		nncn 8721	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. CC )
5	4	addid1d 7904	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( M + 0 ) = M )
6	3, 5	sylan9eqr 2192	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> ( M + N ) = M )
7		simpl 108	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> M e. NN )
8	6, 7	eqeltrd 2214	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N = 0 ) -> ( M + N ) e. NN )
9	2, 8	jaodan 786	. 2 |- ( ( M e. NN /\ ( N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( M + N ) e. NN )
10	1, 9	sylan2b 285	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5767   0cc0 7613   + caddc 7616   NNcn 8713   NN0cn0 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addass 7715  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-inn 8714  df-n0 8971

This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  9001  elz2  9115  bcxmas  11251