Theorem nnnn0d 9030

Description: A positive integer is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnnn0d.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnnn0d	|- ( ph -> A e. NN0 )

Proof of Theorem nnnn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 8980	. 2 |- NN C_ NN0
2		nnnn0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
3	1, 2	sseldi 3095	1 |- ( ph -> A e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   NNcn 8720   NN0cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn0  9038  nnzd  9172  eluzge2nn0  9365  modsumfzodifsn  10169  addmodlteq  10171  expnnval  10296  expgt1  10331  expaddzaplem  10336  expaddzap  10337  expmulzap  10339  expnbnd  10415  facwordi  10486  faclbnd  10487  facavg  10492  bcm1k  10506  bcval5  10509  1elfz0hash  10552  resqrexlemnm  10790  resqrexlemcvg  10791  summodc  11152  zsumdc  11153  bcxmas  11258  geo2sum  11283  geo2lim  11285  geoisum1  11288  geoisum1c  11289  cvgratnnlembern  11292  cvgratnnlemsumlt  11297  cvgratnnlemfm  11298  mertenslemi1  11304  prodmodclem3  11344  prodmodclem2a  11345  eftabs  11362  efcllemp  11364  eftlub  11396  eirraplem  11483  dvdsfac  11558  divalglemnqt  11617  divalglemeunn  11618  gcdval  11648  gcdcl  11655  dvdsgcdidd  11682  mulgcd  11704  rplpwr  11715  rppwr  11716  lcmcl  11753  lcmgcdnn  11763  nprmdvds1  11820  rpexp  11831  pw2dvdslemn  11843  sqpweven  11853  2sqpwodd  11854  nn0sqrtelqelz  11884  phiprmpw  11898  crth  11900  cvgcmp2nlemabs  13227  trilpolemlt1  13234