ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnregexmid Unicode version

Theorem nnregexmid 4370
Description: If inhabited sets of natural numbers always have minimal elements, excluded middle follows. The argument is essentially the same as regexmid 4288 and the larger lesson is that although natural numbers may behave "non-constructively" even in a constructive set theory (for example see nndceq 6108 or nntri3or 6103), sets of natural numbers are a different animal. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
nnregexmid.1  |-  ( ( x  C_  om  /\  E. y  y  e.  x
)  ->  E. y
( y  e.  x  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  x )
) )
Assertion
Ref Expression
nnregexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y, z

Proof of Theorem nnregexmid
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3053 . . . 4  |-  { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  C_  {
(/) ,  { (/) } }
2 peano1 4345 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
3 suc0 4176 . . . . . 6  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
4 peano2 4346 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  om  ->  suc  (/)  e.  om )
52, 4ax-mp 7 . . . . . 6  |-  suc  (/)  e.  om
63, 5eqeltrri 2127 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  om
7 prssi 3550 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  { (/)
}  e.  om )  ->  { (/) ,  { (/) } }  C_  om )
82, 6, 7mp2an 410 . . . 4  |-  { (/) ,  { (/) } }  C_  om
91, 8sstri 2982 . . 3  |-  { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  C_  om
10 eqid 2056 . . . 4  |-  { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  =  { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( w  =  { (/)
}  \/  ( w  =  (/)  /\  ph )
) }
1110regexmidlemm 4285 . . 3  |-  E. y 
y  e.  { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }
12 pp0ex 3968 . . . . 5  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
1312rabex 3929 . . . 4  |-  { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  e.  _V
14 sseq1 2994 . . . . . 6  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( x  C_  om  <->  { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  C_  om ) )
15 eleq2 2117 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( y  e.  x  <->  y  e.  { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( w  =  { (/)
}  \/  ( w  =  (/)  /\  ph )
) } ) )
1615exbidv 1722 . . . . . 6  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( E. y  y  e.  x  <->  E. y  y  e. 
{ w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) )
1714, 16anbi12d 450 . . . . 5  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( ( x  C_  om  /\  E. y  y  e.  x
)  <->  ( { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  C_  om 
/\  E. y  y  e. 
{ w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) ) )
18 eleq2 2117 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( w  =  { (/)
}  \/  ( w  =  (/)  /\  ph )
) } ) )
1918notbid 602 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( -.  z  e.  x  <->  -.  z  e.  { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) )
2019imbi2d 223 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  x )  <->  ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  { w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) ) )
2120albidv 1721 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  x )  <->  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  { w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) ) )
2215, 21anbi12d 450 . . . . . 6  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( ( y  e.  x  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  x )
)  <->  ( y  e. 
{ w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) }  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  { w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) ) ) )
2322exbidv 1722 . . . . 5  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( E. y ( y  e.  x  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  x ) )  <->  E. y
( y  e.  {
w  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( w  =  { (/)
}  \/  ( w  =  (/)  /\  ph )
) }  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  { w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) ) ) )
2417, 23imbi12d 227 . . . 4  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  ->  ( ( ( x  C_  om 
/\  E. y  y  e.  x )  ->  E. y
( y  e.  x  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  x )
) )  <->  ( ( { w  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( w  =  { (/)
}  \/  ( w  =  (/)  /\  ph )
) }  C_  om  /\  E. y  y  e.  {
w  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( w  =  { (/)
}  \/  ( w  =  (/)  /\  ph )
) } )  ->  E. y ( y  e. 
{ w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) }  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  { w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) ) ) ) )
25 nnregexmid.1 . . . 4  |-  ( ( x  C_  om  /\  E. y  y  e.  x
)  ->  E. y
( y  e.  x  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  x )
) )
2613, 24, 25vtocl 2625 . . 3  |-  ( ( { w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) }  C_  om 
/\  E. y  y  e. 
{ w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } )  ->  E. y ( y  e.  { w  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  ( w  =  (/)  /\  ph ) ) }  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  { w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) ) )
279, 11, 26mp2an 410 . 2  |-  E. y
( y  e.  {
w  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( w  =  { (/)
}  \/  ( w  =  (/)  /\  ph )
) }  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  { w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) )
2810regexmidlem1 4286 . 2  |-  ( E. y ( y  e. 
{ w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) }  /\  A. z ( z  e.  y  ->  -.  z  e.  { w  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( w  =  { (/) }  \/  (
w  =  (/)  /\  ph ) ) } ) )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
2927, 28ax-mp 7 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    \/ wo 639   A.wal 1257    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   {crab 2327    C_ wss 2945   (/)c0 3252   {csn 3403   {cpr 3404   suc csuc 4130   omcom 4341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-uni 3609  df-int 3644  df-suc 4136  df-iom 4342
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator