ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsucsssuc Unicode version

Theorem nnsucsssuc 6102
Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4263, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4280. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnsucsssuc  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  suc 
A  C_  suc  B ) )

Proof of Theorem nnsucsssuc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 2994 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  B  <->  A  C_  B
) )
2 suceq 4167 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
32sseq1d 3000 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  A  C_  suc  B ) )
41, 3imbi12d 227 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) ) )
54imbi2d 223 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B ) )  <->  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) ) ) )
6 sseq1 2994 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
7 suceq 4167 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  x  =  suc  (/) )
87sseq1d 3000 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
96, 8imbi12d 227 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <-> 
( (/)  C_  B  ->  suc  (/)  C_  suc  B ) ) )
10 sseq1 2994 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  B  <->  y  C_  B ) )
11 suceq 4167 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
1211sseq1d 3000 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  y  C_  suc  B ) )
1310, 12imbi12d 227 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B ) ) )
14 sseq1 2994 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  C_  B  <->  suc  y  C_  B )
)
15 suceq 4167 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
1615sseq1d 3000 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
1714, 16imbi12d 227 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_ 
suc  B ) ) )
18 peano3 4347 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  suc  B  =/=  (/) )
1918neneqd 2241 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  -.  suc  B  =  (/) )
20 peano2 4346 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  suc  B  e.  om )
21 0elnn 4368 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc 
B  e.  om  ->  ( suc  B  =  (/)  \/  (/)  e.  suc  B ) )
2220, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( suc  B  =  (/)  \/  (/)  e.  suc  B ) )
2322ord 653 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( -.  suc  B  =  (/)  -> 
(/)  e.  suc  B ) )
2419, 23mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  (/)  e.  suc  B )
25 nnord 4362 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
26 ordsucim 4254 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  Ord  suc  B
)
27 0ex 3912 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
28 ordelsuc 4259 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  Ord  suc 
B )  ->  ( (/) 
e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
2927, 28mpan 408 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
suc  B  ->  ( (/)  e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
3025, 26, 293syl 17 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
3124, 30mpbid 139 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  suc  (/)  C_  suc  B )
3231a1d 22 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/)  C_  B  ->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
33 simp3 917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  C_  B )
34 simp1l 939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  y  e.  om )
35 simp1r 940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  B  e.  om )
3635, 25syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  Ord  B )
37 ordelsuc 4259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  Ord  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  C_  B ) )
3834, 36, 37syl2anc 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  C_  B ) )
3933, 38mpbird 160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  y  e.  B )
40 nnsucelsuc 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  e. 
suc  B ) )
4135, 40syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  e. 
suc  B ) )
4239, 41mpbid 139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  e.  suc  B )
43 peano2 4346 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
4434, 43syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  e.  om )
4536, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  Ord  suc 
B )
46 ordelsuc 4259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\ 
Ord  suc  B )  -> 
( suc  y  e.  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
4744, 45, 46syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  ( suc  y  e.  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
4842, 47mpbid 139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  suc  y  C_  suc  B )
49483expia 1117 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B ) )  ->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
5049exp31 350 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  ->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_  suc  B ) ) ) )
519, 13, 17, 32, 50finds2 4352 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B ) ) )
525, 51vtoclga 2636 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  suc 
A  C_  suc  B ) ) )
5352imp 119 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) )
54 nnon 4360 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
55 onsucsssucr 4263 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  Ord  B )  ->  ( suc  A  C_  suc  B  ->  A  C_  B ) )
5654, 25, 55syl2an 277 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  suc  B  ->  A  C_  B
) )
5753, 56impbid 124 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  suc 
A  C_  suc  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   _Vcvv 2574    C_ wss 2945   (/)c0 3252   Ord word 4127   Oncon0 4128   suc csuc 4130   omcom 4341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-uni 3609  df-int 3644  df-tr 3883  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342
This theorem is referenced by:  nnaword  6115
  Copyright terms: Public domain W3C validator