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Theorem nnsucsssuc 6356
Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4395, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4412. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnsucsssuc  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  suc 
A  C_  suc  B ) )

Proof of Theorem nnsucsssuc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3090 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  B  <->  A  C_  B
) )
2 suceq 4294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
32sseq1d 3096 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  A  C_  suc  B ) )
41, 3imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) ) )
54imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B ) )  <->  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) ) ) )
6 sseq1 3090 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
7 suceq 4294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  x  =  suc  (/) )
87sseq1d 3096 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
96, 8imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <-> 
( (/)  C_  B  ->  suc  (/)  C_  suc  B ) ) )
10 sseq1 3090 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  B  <->  y  C_  B ) )
11 suceq 4294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
1211sseq1d 3096 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  y  C_  suc  B ) )
1310, 12imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B ) ) )
14 sseq1 3090 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  C_  B  <->  suc  y  C_  B )
)
15 suceq 4294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
1615sseq1d 3096 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
1714, 16imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_ 
suc  B ) ) )
18 peano3 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  suc  B  =/=  (/) )
1918neneqd 2306 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  -.  suc  B  =  (/) )
20 peano2 4479 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  suc  B  e.  om )
21 0elnn 4502 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc 
B  e.  om  ->  ( suc  B  =  (/)  \/  (/)  e.  suc  B ) )
2220, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( suc  B  =  (/)  \/  (/)  e.  suc  B ) )
2322ord 698 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( -.  suc  B  =  (/)  -> 
(/)  e.  suc  B ) )
2419, 23mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  (/)  e.  suc  B )
25 nnord 4495 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
26 ordsucim 4386 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  Ord  suc  B
)
27 0ex 4025 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
28 ordelsuc 4391 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  Ord  suc 
B )  ->  ( (/) 
e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
2927, 28mpan 420 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
suc  B  ->  ( (/)  e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
3025, 26, 293syl 17 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
3124, 30mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  suc  (/)  C_  suc  B )
3231a1d 22 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/)  C_  B  ->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
33 simp3 968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  C_  B )
34 simp1l 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  y  e.  om )
35 simp1r 991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  B  e.  om )
3635, 25syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  Ord  B )
37 ordelsuc 4391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  Ord  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  C_  B ) )
3834, 36, 37syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  C_  B ) )
3933, 38mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  y  e.  B )
40 nnsucelsuc 6355 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  e. 
suc  B ) )
4135, 40syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  e. 
suc  B ) )
4239, 41mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  e.  suc  B )
43 peano2 4479 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
4434, 43syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  e.  om )
4536, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  Ord  suc 
B )
46 ordelsuc 4391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\ 
Ord  suc  B )  -> 
( suc  y  e.  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
4744, 45, 46syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  ( suc  y  e.  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
4842, 47mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  suc  y  C_  suc  B )
49483expia 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B ) )  ->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
5049exp31 361 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  ->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_  suc  B ) ) ) )
519, 13, 17, 32, 50finds2 4485 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B ) ) )
525, 51vtoclga 2726 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  suc 
A  C_  suc  B ) ) )
5352imp 123 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) )
54 nnon 4493 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
55 onsucsssucr 4395 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  Ord  B )  ->  ( suc  A  C_  suc  B  ->  A  C_  B ) )
5654, 25, 55syl2an 287 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  suc  B  ->  A  C_  B
) )
5753, 56impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  suc 
A  C_  suc  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   (/)c0 3333   Ord word 4254   Oncon0 4255   suc csuc 4257   omcom 4474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-int 3742  df-tr 3997  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475
This theorem is referenced by:  nnaword  6375  ennnfonelemk  11840  ennnfonelemkh  11852
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