ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri1 Unicode version

Theorem nntri1 6105
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )

Proof of Theorem nntri1
StepHypRef Expression
1 ssnel 4321 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  -.  B  e.  A )
2 nntri3or 6103 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
3 df-3or 897 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B
)  \/  B  e.  A ) )
43biimpi 117 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  \/  B  e.  A ) )
54orcomd 658 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( B  e.  A  \/  ( A  e.  B  \/  A  =  B
) ) )
65ord 653 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
72, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
8 nnord 4362 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
9 ordelss 4144 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
108, 9sylan 271 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
1110ex 112 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  A 
C_  B ) )
1211adantl 266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  A  C_  B )
)
13 eqimss 3025 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  A  C_  B )
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  =  B  ->  A  C_  B
) )
1512, 14jaod 647 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  ->  A  C_  B ) )
167, 15syld 44 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  A  C_  B
) )
171, 16impbid2 135 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    \/ w3o 895    = wceq 1259    e. wcel 1409    C_ wss 2945   Ord word 4127   omcom 4341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-uni 3609  df-int 3644  df-tr 3883  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342
This theorem is referenced by:  nnsseleq  6110  nnmword  6122  nnawordex  6132  nndomo  6357
  Copyright terms: Public domain W3C validator