ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri1 Unicode version

Theorem nntri1 6360
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )

Proof of Theorem nntri1
StepHypRef Expression
1 ssnel 4454 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  -.  B  e.  A )
2 nntri3or 6357 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
3 df-3or 948 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B
)  \/  B  e.  A ) )
43biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  \/  B  e.  A ) )
54orcomd 703 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( B  e.  A  \/  ( A  e.  B  \/  A  =  B
) ) )
65ord 698 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
72, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
8 nnord 4495 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
9 ordelss 4271 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
108, 9sylan 281 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
1110ex 114 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  A 
C_  B ) )
1211adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  A  C_  B )
)
13 eqimss 3121 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  A  C_  B )
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  =  B  ->  A  C_  B
) )
1512, 14jaod 691 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  ->  A  C_  B ) )
167, 15syld 45 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  A  C_  B
) )
171, 16impbid2 142 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    \/ w3o 946    = wceq 1316    e. wcel 1465    C_ wss 3041   Ord word 4254   omcom 4474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-int 3742  df-tr 3997  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475
This theorem is referenced by:  nnsseleq  6365  nnmword  6382  nnawordex  6392  nndomo  6726  ennnfonelemex  11854  pwle2  13120  nninfalllemn  13129
  Copyright terms: Public domain W3C validator