ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri2 Unicode version

Theorem nntri2 6138
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )

Proof of Theorem nntri2
StepHypRef Expression
1 elirr 4292 . . . . 5  |-  -.  A  e.  A
2 eleq2 2143 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  A  <->  A  e.  B ) )
31, 2mtbii 632 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  -.  A  e.  B )
43con2i 590 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  -.  A  =  B )
5 en2lp 4305 . . . 4  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  A )
65imnani 658 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  -.  B  e.  A )
7 ioran 702 . . 3  |-  ( -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
)  <->  ( -.  A  =  B  /\  -.  B  e.  A ) )
84, 6, 7sylanbrc 408 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) )
9 nntri3or 6137 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
10 3orass 923 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( A  e.  B  \/  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
119, 10sylib 120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
1211orcomd 681 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A )  \/  A  e.  B ) )
1312ord 676 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  A  e.  B ) )
148, 13impbid2 141 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    \/ w3o 919    = wceq 1285    e. wcel 1434   omcom 4339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-int 3645  df-tr 3884  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340
This theorem is referenced by:  nnaord  6148  nnmord  6156  pitric  6573
  Copyright terms: Public domain W3C validator