ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri2or2 Unicode version

Theorem nntri2or2 6163
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nntri2or2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )

Proof of Theorem nntri2or2
StepHypRef Expression
1 nnon 4378 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
21adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  B  e.  On )
3 onelss 4170 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A 
C_  B ) )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  A  C_  B )
)
54imp 122 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  A  C_  B
)
65orcd 685 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  ( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
7 eqimss 3060 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  A  C_  B )
87adantl 271 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  =  B
)  ->  A  C_  B
)
98orcd 685 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  =  B
)  ->  ( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
10 nnon 4378 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
1110adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  On )
12 onelss 4170 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )
1311, 12syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  e.  A  ->  B  C_  A )
)
1413imp 122 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  e.  A
)  ->  B  C_  A
)
1514olcd 686 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  e.  A
)  ->  ( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
16 nntri3or 6158 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
176, 9, 15, 16mpjao3dan 1239 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434    C_ wss 2982   Oncon0 4146   omcom 4359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-uni 3622  df-int 3657  df-tr 3896  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360
This theorem is referenced by:  fientri3  6460
  Copyright terms: Public domain W3C validator