Theorem nntri2or2 6163

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2or2	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )

Proof of Theorem nntri2or2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4378	. . . . . 6 |- ( B e. om -> B e. On )
2	1	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> B e. On )
3		onelss 4170	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5	4	imp 122	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> A C_ B )
6	5	orcd 685	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A e. B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
7		eqimss 3060	. . . 4 |- ( A = B -> A C_ B )
8	7	adantl 271	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> A C_ B )
9	8	orcd 685	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A = B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
10		nnon 4378	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A e. On )
11	10	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> A e. On )
12		onelss 4170	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( B e. A -> B C_ A ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B e. A -> B C_ A ) )
14	13	imp 122	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> B C_ A )
15	14	olcd 686	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ B e. A ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )
16		nntri3or 6158	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
17	6, 9, 15, 16	mpjao3dan 1239	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 662   = wceq 1285   e. wcel 1434   C_ wss 2982   Oncon0 4146   omcom 4359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-iinf 4357

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-uni 3622  df-int 3657  df-tr 3896  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360

This theorem is referenced by:  fientri3  6460