ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnwetri Unicode version

Theorem nnwetri 6385
Description: A natural number is well-ordered by  _E. More specifically, this order both satisfies  We and is trichotomous. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnwetri  |-  ( A  e.  om  ->  (  _E  We  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) ) )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem nnwetri
StepHypRef Expression
1 nnord 4362 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
2 ordwe 4328 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  _E  We  A )
4 simprl 491 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
5 simpl 106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  A  e.  om )
6 elnn 4356 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e.  om )  ->  x  e.  om )
74, 5, 6syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  x  e.  om )
8 simprr 492 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  y  e.  A )
9 elnn 4356 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  A  e.  om )  ->  y  e.  om )
108, 5, 9syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  y  e.  om )
11 nntri3or 6103 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
12 epel 4057 . . . . . 6  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
13 biid 164 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  <->  x  =  y )
14 epel 4057 . . . . . 6  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1512, 13, 143orbi123i 1105 . . . . 5  |-  ( ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
1611, 15sylibr 141 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x
) )
177, 10, 16syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) )
1817ralrimivva 2418 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) )
193, 18jca 294 1  |-  ( A  e.  om  ->  (  _E  We  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    \/ w3o 895    e. wcel 1409   A.wral 2323   class class class wbr 3792    _E cep 4052    We wwe 4095   Ord word 4127   omcom 4341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-opab 3847  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-frfor 4096  df-frind 4097  df-wetr 4099  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator