ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nominpos Unicode version

Theorem nominpos 8925
Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nominpos  |-  -.  E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  ( 0  <  y  /\  y  <  x ) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nominpos
StepHypRef Expression
1 rehalfcl 8915 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  /  2 )  e.  RR )
2 2re 8758 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3 2pos 8779 . . . . . . 7  |-  0  <  2
4 divgt0 8598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( x  /  2 ) )
52, 3, 4mpanr12 435 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  -> 
0  <  ( x  /  2 ) )
65ex 114 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  0  <  ( x  / 
2 ) ) )
7 halfpos 8919 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  <->  ( x  /  2 )  < 
x ) )
87biimpd 143 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  ( x  /  2 )  <  x ) )
96, 8jcad 305 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  ( 0  <  ( x  /  2 )  /\  ( x  /  2
)  <  x )
) )
10 breq2 3903 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
0  <  y  <->  0  <  ( x  /  2 ) ) )
11 breq1 3902 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
y  <  x  <->  ( x  /  2 )  < 
x ) )
1210, 11anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( 0  <  y  /\  y  <  x )  <-> 
( 0  <  (
x  /  2 )  /\  ( x  / 
2 )  <  x
) ) )
1312rspcev 2763 . . . 4  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR  /\  ( 0  <  (
x  /  2 )  /\  ( x  / 
2 )  <  x
) )  ->  E. y  e.  RR  ( 0  < 
y  /\  y  <  x ) )
141, 9, 13syl6an 1395 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  E. y  e.  RR  (
0  <  y  /\  y  <  x ) ) )
15 imanim 662 . . 3  |-  ( ( 0  <  x  ->  E. y  e.  RR  ( 0  <  y  /\  y  <  x ) )  ->  -.  (
0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  ( 0  <  y  /\  y  <  x ) ) )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  ( 0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  ( 0  < 
y  /\  y  <  x ) ) )
1716nrex 2501 1  |-  -.  E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  ( 0  <  y  /\  y  <  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   E.wrex 2394   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588    < clt 7768    / cdiv 8400   2c2 8739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-2 8747
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator