ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0a0 Unicode version

Theorem nq0a0 6709
Description: Addition with zero for non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0a0  |-  ( A  e. Q0  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )

Proof of Theorem nq0a0
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6694 . 2  |-  ( A  e. Q0  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
2 df-0nq0 6678 . . . . . 6  |- 0Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0
3 oveq12 5552 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\ 0Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <.
(/) ,  1o >. ] ~Q0  ) )
42, 3mpan2 416 . . . . 5  |-  ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <.
(/) ,  1o >. ] ~Q0  ) )
5 peano1 4343 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
6 1pi 6567 . . . . . 6  |-  1o  e.  N.
7 addnnnq0 6701 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( (/)  e.  om  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o )
>. ] ~Q0  )
85, 6, 7mpanr12 430 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <.
(/) ,  1o >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o )
>. ] ~Q0  )
94, 8sylan9eqr 2136 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  )
10 pinn 6561 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  N.  ->  v  e.  om )
11 nnm0 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  om  ->  (
v  .o  (/) )  =  (/) )
1211oveq2d 5559 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) )  =  ( ( w  .o  1o )  +o  (/) ) )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  N.  ->  (
( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) )  =  ( ( w  .o  1o )  +o  (/) ) )
14 nnm1 6163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  (
w  .o  1o )  =  w )
1514oveq1d 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  om  ->  (
( w  .o  1o )  +o  (/) )  =  ( w  +o  (/) ) )
16 nna0 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  om  ->  (
w  +o  (/) )  =  w )
1715, 16eqtrd 2114 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  om  ->  (
( w  .o  1o )  +o  (/) )  =  w )
1813, 17sylan9eqr 2136 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) )  =  w )
19 nnm1 6163 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
v  .o  1o )  =  v )
2010, 19syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  N.  ->  (
v  .o  1o )  =  v )
2120adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( v  .o  1o )  =  v )
2218, 21opeq12d 3586 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  -> 
<. ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >.  =  <. w ,  v >. )
2322eceq1d 6208 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )
2423eqeq2d 2093 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( A  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  <-> 
A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  ) )
2524biimpar 291 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  A  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  )
269, 25eqtr4d 2117 . . 3  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )
2726exlimivv 1818 . 2  |-  ( E. w E. v ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )
281, 27syl 14 1  |-  ( A  e. Q0  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   (/)c0 3258   <.cop 3409   omcom 4339  (class class class)co 5543   1oc1o 6058    +o coa 6062    .o comu 6063   [cec 6170   N.cnpi 6524   ~Q0 ceq0 6538  Q0cnq0 6539  0Q0c0q0 6540   +Q0 cplq0 6541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6752
  Copyright terms: Public domain W3C validator