ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqpi Unicode version

Theorem nqpi 6630
Description: Decomposition of a positive fraction into numerator and denominator. Similar to dmaddpqlem 6629 but also shows that the numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqpi  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. w E. v ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ) )
Distinct variable group:    v, A, w

Proof of Theorem nqpi
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elqsi 6224 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( N. 
X.  N. ) /.  ~Q  )  ->  E. a  e.  ( N.  X.  N. ) A  =  [ a ]  ~Q  )
2 elxpi 4387 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. w E. v ( a  = 
<. w ,  v >.  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )
32anim1i 333 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  A  =  [ a ]  ~Q  )  ->  ( E. w E. v ( a  = 
<. w ,  v >.  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ]  ~Q  ) )
4 19.41vv 1825 . . . . . 6  |-  ( E. w E. v ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ]  ~Q  ) 
<->  ( E. w E. v ( a  = 
<. w ,  v >.  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ]  ~Q  ) )
53, 4sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  A  =  [ a ]  ~Q  )  ->  E. w E. v
( ( a  = 
<. w ,  v >.  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ]  ~Q  ) )
6 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ]  ~Q  )  ->  ( w  e. 
N.  /\  v  e.  N. ) )
7 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ]  ~Q  )  ->  A  =  [
a ]  ~Q  )
8 eceq1 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  <. w ,  v
>.  ->  [ a ]  ~Q  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )
98ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ]  ~Q  )  ->  [ a ]  ~Q  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )
107, 9eqtrd 2114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ]  ~Q  )  ->  A  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )
116, 10jca 300 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ]  ~Q  )  ->  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ) )
12112eximi 1533 . . . . 5  |-  ( E. w E. v ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ]  ~Q  )  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
N.  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ) )
135, 12syl 14 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  A  =  [ a ]  ~Q  )  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
N.  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ) )
1413rexlimiva 2473 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( N. 
X.  N. ) A  =  [ a ]  ~Q  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
N.  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ) )
151, 14syl 14 . 2  |-  ( A  e.  ( ( N. 
X.  N. ) /.  ~Q  )  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
N.  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ) )
16 df-nqqs 6600 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
1715, 16eleq2s 2174 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. w E. v ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   E.wrex 2350   <.cop 3409    X. cxp 4369   [cec 6170   /.cqs 6171   N.cnpi 6524    ~Q ceq 6531   Q.cnq 6532
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-ec 6174  df-qs 6178  df-nqqs 6600
This theorem is referenced by:  ltdcnq  6649  archnqq  6669  nqpnq0nq  6705  nqnq0a  6706  nqnq0m  6707
  Copyright terms: Public domain W3C validator