ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqpnq0nq Unicode version

Theorem nqpnq0nq 6705
Description: A positive fraction plus a non-negative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqpnq0nq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )

Proof of Theorem nqpnq0nq
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6630 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  ) )
2 nq0nn 6694 . . . 4  |-  ( B  e. Q0  ->  E. z E. w
( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
31, 2anim12i 331 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  ( E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
) )
4 ee4anv 1851 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  <->  ( E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
) )
53, 4sylibr 132 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  /\  (
( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
) )
6 oveq12 5552 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
76ad2ant2l 492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  )
)
8 nqnq0pi 6690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )
98oveq1d 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
109adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  )
)
11 pinn 6561 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
12 addnnnq0 6701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
1311, 12sylanl1 394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
1410, 13eqtr3d 2116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ] ~Q0  )
1514ad2ant2r 493 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ]  ~Q +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
167, 15eqtrd 2114 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
17 pinn 6561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
18 nnmcl 6125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  .o  z
)  e.  om )
1917, 18sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  om )  ->  ( y  .o  z
)  e.  om )
2019ad2ant2lr 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  z )  e.  om )
21 mulpiord 6569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  =  ( x  .o  w ) )
22 mulclpi 6580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  e.  N. )
2321, 22eqeltrrd 2157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .o  w
)  e.  N. )
2423ad2ant2rl 495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x  .o  w )  e.  N. )
25 pinn 6561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  .o  w )  e.  N.  ->  (
x  .o  w )  e.  om )
26 nnacom 6128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  .o  z
)  e.  om  /\  ( x  .o  w
)  e.  om )  ->  ( ( y  .o  z )  +o  (
x  .o  w ) )  =  ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) ) )
2725, 26sylan2 280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .o  z
)  e.  om  /\  ( x  .o  w
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .o  z )  +o  (
x  .o  w ) )  =  ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) ) )
2820, 24, 27syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .o  z )  +o  ( x  .o  w ) )  =  ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) )
29 nnppipi 6595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .o  z
)  e.  om  /\  ( x  .o  w
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .o  z )  +o  (
x  .o  w ) )  e.  N. )
3020, 24, 29syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .o  z )  +o  ( x  .o  w ) )  e. 
N. )
3128, 30eqeltrrd 2157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) )  e. 
N. )
32 mulpiord 6569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  =  ( y  .o  w ) )
33 mulclpi 6580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
3432, 33eqeltrrd 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  e.  N. )
3534ad2ant2l 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  w )  e.  N. )
36 opelxpi 4402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  N.  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  -> 
<. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
3731, 35, 36syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w
) >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
38 enqex 6612 . . . . . . . . . 10  |-  ~Q  e.  _V
3938ecelqsi 6226 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
4037, 39syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
41 df-nqqs 6600 . . . . . . . 8  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
4240, 41syl6eleqr 2173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  Q. )
43 nqnq0pi 6690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  N.  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  ->  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ]  ~Q  )
4443eleq1d 2148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  N.  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  ->  ( [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  Q.  <->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  Q. ) )
4531, 35, 44syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e. 
Q. 
<->  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ]  ~Q  e.  Q. ) )
4642, 45mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  Q. )
4746ad2ant2r 493 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  Q. )
4816, 47eqeltrd 2156 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
4948exlimivv 1818 . . 3  |-  ( E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
5049exlimivv 1818 . 2  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
515, 50syl 14 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   <.cop 3409   omcom 4339    X. cxp 4369  (class class class)co 5543    +o coa 6062    .o comu 6063   [cec 6170   /.cqs 6171   N.cnpi 6524    .N cmi 6526    ~Q ceq 6531   Q.cnq 6532   ~Q0 ceq0 6538  Q0cnq0 6539   +Q0 cplq0 6541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-plq0 6679
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6754
  Copyright terms: Public domain W3C validator