ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprlu Unicode version

Theorem nqprlu 6799
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nqprlu  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
Distinct variable groups:    A, l    u, A

Proof of Theorem nqprlu
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3797 . . . . 5  |-  ( l  =  a  ->  ( A  <Q  l  <->  A  <Q  a ) )
21cbvabv 2203 . . . 4  |-  { l  |  A  <Q  l }  =  { a  |  A  <Q  a }
3 breq2 3797 . . . . 5  |-  ( u  =  a  ->  ( A  <Q  u  <->  A  <Q  a ) )
43cbvabv 2203 . . . 4  |-  { u  |  A  <Q  u }  =  { a  |  A  <Q  a }
52, 4eqtr4i 2105 . . 3  |-  { l  |  A  <Q  l }  =  { u  |  A  <Q  u }
65opeq2i 3582 . 2  |-  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { l  |  A  <Q  l } >.  =  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.
7 nqprxx 6798 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { l  |  A  <Q  l } >.  e.  P. )
86, 7syl5eqelr 2167 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1434   {cab 2068   <.cop 3409   class class class wbr 3793   Q.cnq 6532    <Q cltq 6537   P.cnp 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-inp 6718
This theorem is referenced by:  recnnpr  6800  nqprl  6803  nqpru  6804  nnprlu  6805  1pr  6806  addnqprlemrl  6809  addnqprlemru  6810  addnqprlemfl  6811  addnqprlemfu  6812  addnqpr  6813  mulnqprlemrl  6825  mulnqprlemru  6826  mulnqprlemfl  6827  mulnqprlemfu  6828  mulnqpr  6829  ltnqpr  6845  ltnqpri  6846  prplnqu  6872  caucvgprlemcanl  6896  cauappcvgprlemladdfu  6906  cauappcvgprlemladdfl  6907  cauappcvgprlemladdru  6908  cauappcvgprlemladdrl  6909  cauappcvgprlemladd  6910  cauappcvgprlem1  6911  cauappcvgprlem2  6912  caucvgprlemladdfu  6929  caucvgprlemladdrl  6930  caucvgprlem1  6931  caucvgprlem2  6932  caucvgprprlemnkltj  6941  caucvgprprlemnkeqj  6942  caucvgprprlemmu  6947  caucvgprprlemopu  6951  caucvgprprlemloc  6955  caucvgprprlemexbt  6958  caucvgprprlem1  6961  caucvgprprlem2  6962  ltrennb  7084
  Copyright terms: Public domain W3C validator