ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprm Unicode version

Theorem nqprm 6698
Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 6703. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprm  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  { x  |  A  <Q  x }
) )
Distinct variable group:    x, A, r, q

Proof of Theorem nqprm
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnqq 6568 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. q  e.  Q.  q  <Q  A )
2 vex 2577 . . . . 5  |-  q  e. 
_V
3 breq1 3795 . . . . 5  |-  ( x  =  q  ->  (
x  <Q  A  <->  q  <Q  A ) )
42, 3elab 2710 . . . 4  |-  ( q  e.  { x  |  x  <Q  A }  <->  q 
<Q  A )
54rexbii 2348 . . 3  |-  ( E. q  e.  Q.  q  e.  { x  |  x 
<Q  A }  <->  E. q  e.  Q.  q  <Q  A )
61, 5sylibr 141 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. q  e.  Q.  q  e.  {
x  |  x  <Q  A } )
7 archnqq 6573 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. n  e.  N.  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )
8 df-rex 2329 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  N.  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  <->  E. n
( n  e.  N.  /\  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )
)
97, 8sylib 131 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. n
( n  e.  N.  /\  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )
)
10 1pi 6471 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  N.
11 opelxpi 4404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. n ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
12 enqex 6516 . . . . . . . . . 10  |-  ~Q  e.  _V
1312ecelqsi 6191 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
n ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
1411, 13syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
1510, 14mpan2 409 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  N.  ->  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
16 df-nqqs 6504 . . . . . . 7  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
1715, 16syl6eleqr 2147 . . . . . 6  |-  ( n  e.  N.  ->  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
18 breq2 3796 . . . . . . 7  |-  ( r  =  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ->  ( A  <Q  r  <->  A  <Q  [
<. n ,  1o >. ]  ~Q  ) )
1918rspcev 2673 . . . . . 6  |-  ( ( [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  E. r  e.  Q.  A  <Q  r )
2017, 19sylan 271 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  N.  /\  A  <Q  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  E. r  e.  Q.  A  <Q  r )
2120exlimiv 1505 . . . 4  |-  ( E. n ( n  e. 
N.  /\  A  <Q  [
<. n ,  1o >. ]  ~Q  )  ->  E. r  e.  Q.  A  <Q  r
)
229, 21syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. r  e.  Q.  A  <Q  r
)
23 vex 2577 . . . . 5  |-  r  e. 
_V
24 breq2 3796 . . . . 5  |-  ( x  =  r  ->  ( A  <Q  x  <->  A  <Q  r ) )
2523, 24elab 2710 . . . 4  |-  ( r  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  A 
<Q  r )
2625rexbii 2348 . . 3  |-  ( E. r  e.  Q.  r  e.  { x  |  A  <Q  x }  <->  E. r  e.  Q.  A  <Q  r
)
2722, 26sylibr 141 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. r  e.  Q.  r  e.  {
x  |  A  <Q  x } )
286, 27jca 294 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  q  e.  { x  |  x  <Q  A }  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  { x  |  A  <Q  x }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101   E.wex 1397    e. wcel 1409   {cab 2042   E.wrex 2324   <.cop 3406   class class class wbr 3792    X. cxp 4371   1oc1o 6025   [cec 6135   /.cqs 6136   N.cnpi 6428    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436    <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  nqprxx  6702
  Copyright terms: Public domain W3C validator