ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or Unicode version

Theorem nqtri3or 6552
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) )

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6504 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 breq1 3795 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  ) )
3 eqeq1 2062 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  <->  A  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
4 breq2 3796 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A ) )
52, 3, 43orbi123d 1217 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) 
<->  ( A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  A  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A ) ) )
6 breq2 3796 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A 
<Q  B ) )
7 eqeq2 2065 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A  =  B
) )
8 breq1 3795 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A  <->  B  <Q  A ) )
96, 7, 83orbi123d 1217 . 2  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  <Q  [
<. u ,  v >. ]  ~Q  \/  A  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A )  <->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) ) )
10 mulclpi 6484 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  e.  N. )
1110ad2ant2rl 488 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  e.  N. )
12 mulclpi 6484 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
1312ad2ant2lr 487 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
14 pitri3or 6478 . . . 4  |-  ( ( ( z  .N  v
)  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  v )  <N  (
w  .N  u )  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u )  \/  ( w  .N  u )  <N  (
z  .N  v ) ) )
1511, 13, 14syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
)  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u
)  \/  ( w  .N  u )  <N 
( z  .N  v
) ) )
16 ordpipqqs 6530 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
) ) )
17 enqeceq 6515 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u ) ) )
18 ordpipqqs 6530 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
1918ancoms 259 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
20 mulcompig 6487 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( u  .N  w ) )
2120ad2ant2lr 487 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( u  .N  w ) )
22 mulcompig 6487 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  =  ( v  .N  z ) )
2322ad2ant2rl 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  =  ( v  .N  z ) )
2421, 23breq12d 3805 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
w  .N  u ) 
<N  ( z  .N  v
)  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
2519, 24bitr4d 184 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( w  .N  u )  <N  (
z  .N  v ) ) )
2616, 17, 253orbi123d 1217 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  ( (
z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
)  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u
)  \/  ( w  .N  u )  <N 
( z  .N  v
) ) ) )
2715, 26mpbird 160 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
281, 5, 9, 272ecoptocl 6225 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ w3o 895    = wceq 1259    e. wcel 1409   <.cop 3406   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   [cec 6135   N.cnpi 6428    .N cmi 6430    <N clti 6431    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436    <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-lti 6463  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  ltsonq  6554  nqtric  6555  addlocprlem  6691  nqprloc  6701  distrlem4prl  6740  distrlem4pru  6741  ltexprlemrl  6766  aptiprleml  6795  aptiprlemu  6796
  Copyright terms: Public domain W3C validator