Theorem nqtri3or 7204

Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqtri3or	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) )

Proof of Theorem nqtri3or

Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7156	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 3932	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> A <Q [ <. u , v >. ] ~Q ) )
3		eqeq1 2146	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q <-> A = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
4		breq2 3933	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) )
5	2, 3, 4	3orbi123d 1289	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ A = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) ) )
6		breq2 3933	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		eqeq2 2149	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( A = [ <. u , v >. ] ~Q <-> A = B ) )
8		breq1 3932	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q A <-> B <Q A ) )
9	6, 7, 8	3orbi123d 1289	. 2 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ A = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) <-> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) ) )
10		mulclpi 7136	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
11	10	ad2ant2rl 502	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
12		mulclpi 7136	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
13	12	ad2ant2lr 501	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
14		pitri3or 7130	. . . 4 |- ( ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
16		ordpipqqs 7182	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> ( z .N v ) <N ( w .N u ) ) )
17		enqeceq 7167	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q <-> ( z .N v ) = ( w .N u ) ) )
18		ordpipqqs 7182	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. N. /\ v e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
19	18	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
20		mulcompig 7139	. . . . . . 7 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( u .N w ) )
21	20	ad2ant2lr 501	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) = ( u .N w ) )
22		mulcompig 7139	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) = ( v .N z ) )
23	22	ad2ant2rl 502	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N v ) = ( v .N z ) )
24	21, 23	breq12d 3942	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( w .N u ) <N ( z .N v ) <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
25	19, 24	bitr4d 190	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
26	16, 17, 25	3orbi123d 1289	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) ) )
27	15, 26	mpbird 166	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
28	1, 5, 9, 27	2ecoptocl 6517	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ w3o 961   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   [cec 6427   N.cnpi 7080   .N cmi 7082   <N clti 7083   ~Q ceq 7087   Q.cnq 7088   <Q cltq 7093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-mi 7114  df-lti 7115  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-ltnqqs 7161

This theorem is referenced by:  ltsonq  7206  nqtric  7207  addlocprlem  7343  nqprloc  7353  distrlem4prl  7392  distrlem4pru  7393  ltexprlemrl  7418  aptiprleml  7447  aptiprlemu  7448