Theorem numadd 9228

Description: Add two decimal integers M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	|- T e. NN0
numma.2	|- A e. NN0
numma.3	|- B e. NN0
numma.4	|- C e. NN0
numma.5	|- D e. NN0
numma.6	|- M = ( ( T x. A ) + B )
numma.7	|- N = ( ( T x. C ) + D )
numadd.8	|- ( A + C ) = E
numadd.9	|- ( B + D ) = F

Assertion

Ref	Expression
numadd	|- ( M + N ) = ( ( T x. E ) + F )

Proof of Theorem numadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . . . 6 |- M = ( ( T x. A ) + B )
2		numma.1	. . . . . . 7 |- T e. NN0
3		numma.2	. . . . . . 7 |- A e. NN0
4		numma.3	. . . . . . 7 |- B e. NN0
5	2, 3, 4	numcl 9194	. . . . . 6 |- ( ( T x. A ) + B ) e. NN0
6	1, 5	eqeltri 2212	. . . . 5 |- M e. NN0
7	6	nn0cni 8989	. . . 4 |- M e. CC
8	7	mulid1i 7768	. . 3 |- ( M x. 1 ) = M
9	8	oveq1i 5784	. 2 |- ( ( M x. 1 ) + N ) = ( M + N )
10		numma.4	. . 3 |- C e. NN0
11		numma.5	. . 3 |- D e. NN0
12		numma.7	. . 3 |- N = ( ( T x. C ) + D )
13		1nn0 8993	. . 3 |- 1 e. NN0
14	3	nn0cni 8989	. . . . . 6 |- A e. CC
15	14	mulid1i 7768	. . . . 5 |- ( A x. 1 ) = A
16	15	oveq1i 5784	. . . 4 |- ( ( A x. 1 ) + C ) = ( A + C )
17		numadd.8	. . . 4 |- ( A + C ) = E
18	16, 17	eqtri 2160	. . 3 |- ( ( A x. 1 ) + C ) = E
19	4	nn0cni 8989	. . . . . 6 |- B e. CC
20	19	mulid1i 7768	. . . . 5 |- ( B x. 1 ) = B
21	20	oveq1i 5784	. . . 4 |- ( ( B x. 1 ) + D ) = ( B + D )
22		numadd.9	. . . 4 |- ( B + D ) = F
23	21, 22	eqtri 2160	. . 3 |- ( ( B x. 1 ) + D ) = F
24	2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 18, 23	numma 9225	. 2 |- ( ( M x. 1 ) + N ) = ( ( T x. E ) + F )
25	9, 24	eqtr3i 2162	1 |- ( M + N ) = ( ( T x. E ) + F )

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   NN0cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  decadd  9235