Theorem oa1suc 6356

Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
oa1suc	|- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc A )

Proof of Theorem oa1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6306	. . . 4 |- 1o = suc (/)
2	1	oveq2i 5778	. . 3 |- ( A +o 1o ) = ( A +o suc (/) )
3		peano1 4503	. . . 4 |- (/) e. om
4		onasuc 6355	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ (/) e. om ) -> ( A +o suc (/) ) = suc ( A +o (/) ) )
5	3, 4	mpan2 421	. . 3 |- ( A e. On -> ( A +o suc (/) ) = suc ( A +o (/) ) )
6	2, 5	syl5eq 2182	. 2 |- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc ( A +o (/) ) )
7		oa0 6346	. . 3 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A )
8		suceq 4319	. . 3 |- ( ( A +o (/) ) = A -> suc ( A +o (/) ) = suc A )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( A e. On -> suc ( A +o (/) ) = suc A )
10	6, 9	eqtrd 2170	1 |- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   (/)c0 3358   Oncon0 4280   suc csuc 4282   omcom 4499  (class class class)co 5767   1oc1o 6299   +o coa 6303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-oadd 6310

This theorem is referenced by:  o1p1e2  6357  oawordriexmid  6359  nnaordex  6416  indpi  7143  prarloclemlo  7295