Theorem oasuc 6353

Description: Addition with successor. Definition 8.1 of [TakeutiZaring] p. 56. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oasuc	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = suc ( A +o B ) )

Proof of Theorem oasuc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4412	. . . . . 6 |- ( B e. On -> suc B e. On )
2		oav2 6352	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ suc B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) )
3	1, 2	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) )
4		df-suc 4288	. . . . . . . . . 10 |- suc B = ( B u. { B } )
5		iuneq1 3821	. . . . . . . . . 10 |- ( suc B = ( B u. { B } ) -> U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x )
7		iunxun 3887	. . . . . . . . 9 |- U_ x e. ( B u. { B } ) suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) )
8	6, 7	eqtri 2158	. . . . . . . 8 |- U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) )
9		oveq2 5775	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( A +o x ) = ( A +o B ) )
10		suceq 4319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o x ) = ( A +o B ) -> suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
12	11	iunxsng 3883	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> U_ x e. { B } suc ( A +o x ) = suc ( A +o B ) )
13	12	uneq2d 3225	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. U_ x e. { B } suc ( A +o x ) ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
14	8, 13	syl5eq 2182	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> U_ x e. suc B suc ( A +o x ) = ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
15	14	uneq2d 3225	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
16	15	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A u. U_ x e. suc B suc ( A +o x ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
17	3, 16	eqtrd 2170	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) ) )
18		unass 3228	. . . 4 |- ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) = ( A u. ( U_ x e. B suc ( A +o x ) u. suc ( A +o B ) ) )
19	17, 18	syl6eqr 2188	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) )
20		oav2 6352	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) )
21	20	uneq1d 3224	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = ( ( A u. U_ x e. B suc ( A +o x ) ) u. suc ( A +o B ) ) )
22	19, 21	eqtr4d 2173	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) )
23		sssucid 4332	. . 3 |- ( A +o B ) C_ suc ( A +o B )
24		ssequn1 3241	. . 3 |- ( ( A +o B ) C_ suc ( A +o B ) <-> ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = suc ( A +o B ) )
25	23, 24	mpbi 144	. 2 |- ( ( A +o B ) u. suc ( A +o B ) ) = suc ( A +o B )
26	22, 25	syl6eq 2186	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o suc B ) = suc ( A +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3064   C_ wss 3066   {csn 3522   U_ciun 3808   Oncon0 4280   suc csuc 4282  (class class class)co 5767   +o coa 6303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310

This theorem is referenced by:  onasuc  6355  nnaordi  6397