ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddm1even Unicode version

Theorem oddm1even 10419
Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
oddm1even  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  -  1
) ) )

Proof of Theorem oddm1even
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
21zcnd 8551 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
3 1cnd 7197 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
4 2cnd 8179 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
5 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
65zcnd 8551 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
74, 6mulcld 7201 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
82, 3, 7subadd2d 7505 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  =  ( 2  x.  n )  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
9 eqcom 2084 . . . . 5  |-  ( ( N  -  1 )  =  ( 2  x.  n )  <->  ( 2  x.  n )  =  ( N  -  1 ) )
104, 6mulcomd 7202 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( n  x.  2 ) )
1110eqeq1d 2090 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  =  ( N  -  1 )  <-> 
( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
129, 11syl5bb 190 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  =  ( 2  x.  n )  <-> 
( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
138, 12bitr3d 188 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <-> 
( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
1413rexbidva 2366 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
15 odd2np1 10417 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
16 2z 8460 . . 3  |-  2  e.  ZZ
17 peano2zm 8470 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
18 divides 10342 . . 3  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( N  -  1
)  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2
)  =  ( N  -  1 ) ) )
1916, 17, 18sylancr 405 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  -  1 )  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
2014, 15, 193bitr4d 218 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  -  1
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   1c1 7044    + caddc 7046    x. cmul 7048    - cmin 7346   2c2 8156   ZZcz 8432    || cdvds 10340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-n0 8356  df-z 8433  df-dvds 10341
This theorem is referenced by:  oddp1even  10420  n2dvds3  10459  oddennn  10703
  Copyright terms: Public domain W3C validator