ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddp1d2 Unicode version

Theorem oddp1d2 10497
Description: An integer is odd iff its successor divided by 2 is an integer. This is a representation of odd numbers without using the divides relation, see zeo 8585 and zeo2 8586. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddp1d2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem oddp1d2
StepHypRef Expression
1 oddp1even 10483 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  +  1
) ) )
2 2z 8512 . . 3  |-  2  e.  ZZ
3 2ne0 8250 . . 3  |-  2  =/=  0
4 peano2z 8520 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
5 dvdsval2 10406 . . 3  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( N  +  1 )  <-> 
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
62, 3, 4, 5mp3an12i 1273 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  +  1 )  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
71, 6bitrd 186 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    e. wcel 1434    =/= wne 2249   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   0cc0 7095   1c1 7096    + caddc 7098    / cdiv 7879   2c2 8208   ZZcz 8484    || cdvds 10403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-dvds 10404
This theorem is referenced by:  oddm1d2  10499  nn0oddm1d2  10516  nnoddm1d2  10517
  Copyright terms: Public domain W3C validator