ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddp1even Unicode version

Theorem oddp1even 10483
Description: An integer is odd iff its successor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
oddp1even  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  +  1
) ) )

Proof of Theorem oddp1even
StepHypRef Expression
1 oddm1even 10482 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  -  1
) ) )
2 2z 8512 . . 3  |-  2  e.  ZZ
3 peano2zm 8522 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
4 dvdsadd 10446 . . 3  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( N  -  1
)  <->  2  ||  (
2  +  ( N  -  1 ) ) ) )
52, 3, 4sylancr 405 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  -  1 )  <->  2  ||  ( 2  +  ( N  -  1 ) ) ) )
6 2cnd 8231 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
7 zcn 8489 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
8 1cnd 7249 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
96, 7, 8addsub12d 7561 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  +  ( N  -  1 ) )  =  ( N  +  ( 2  -  1 ) ) )
10 2m1e1 8275 . . . . 5  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1110oveq2i 5574 . . . 4  |-  ( N  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( N  +  1 )
129, 11syl6eq 2131 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  +  ( N  -  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
1312breq2d 3817 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( 2  +  ( N  - 
1 ) )  <->  2  ||  ( N  +  1
) ) )
141, 5, 133bitrd 212 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  +  1
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    e. wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   1c1 7096    + caddc 7098    - cmin 7398   2c2 8208   ZZcz 8484    || cdvds 10403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-dvds 10404
This theorem is referenced by:  zeo5  10495  oddp1d2  10497  n2dvdsm1  10520  2sqpwodd  10761  oddennn  10812
  Copyright terms: Public domain W3C validator