ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddpwdclemndvds Unicode version

Theorem oddpwdclemndvds 10693
Description: Lemma for oddpwdc 10696. A natural number is not divisible by one more than the highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddpwdclemndvds  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  ( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
)
Distinct variable group:    z, A

Proof of Theorem oddpwdclemndvds
StepHypRef Expression
1 pw2dvds 10688 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  E. z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )
2 nfv 1462 . . 3  |-  F/ z  A  e.  NN
3 nfcv 2220 . . . . . 6  |-  F/_ z
2
4 nfcv 2220 . . . . . 6  |-  F/_ z ^
5 nfriota1 5506 . . . . . . 7  |-  F/_ z
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )
6 nfcv 2220 . . . . . . 7  |-  F/_ z  +
7 nfcv 2220 . . . . . . 7  |-  F/_ z
1
85, 6, 7nfov 5566 . . . . . 6  |-  F/_ z
( ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  +  1 )
93, 4, 8nfov 5566 . . . . 5  |-  F/_ z
( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )
10 nfcv 2220 . . . . 5  |-  F/_ z  ||
11 nfcv 2220 . . . . 5  |-  F/_ z A
129, 10, 11nfbr 3837 . . . 4  |-  F/ z ( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
1312nfn 1589 . . 3  |-  F/ z  -.  ( 2 ^ ( ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  +  1 ) )  ||  A
14 simprrr 507 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  ->  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A )
15 pw2dvdseu 10690 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  E! z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z ) 
||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )
16 riota1 5517 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! z  e.  NN0  (
( 2 ^ z
)  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A )  ->  ( ( z  e.  NN0  /\  (
( 2 ^ z
)  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )  <->  ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  =  z ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  <->  ( iota_ z  e.  NN0  ( (
2 ^ z ) 
||  A  /\  -.  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )  =  z ) )
1817biimpa 290 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  =  z )
1918oveq1d 5558 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
2019oveq2d 5559 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( z  +  1 ) ) )
2120breq1d 3803 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  -> 
( ( 2 ^ ( ( iota_ z  e. 
NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A ) )  +  1 ) )  ||  A 
<->  ( 2 ^ (
z  +  1 ) )  ||  A ) )
2214, 21mtbird 631 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( z  e.  NN0  /\  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) ) )  ->  -.  ( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
)
2322exp32 357 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
z  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
)  ->  -.  (
2 ^ ( (
iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
) ) )
242, 13, 23rexlimd 2475 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( E. z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
)  ->  -.  (
2 ^ ( (
iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
) )
251, 24mpd 13 1  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  ( 2 ^ (
( iota_ z  e.  NN0  ( ( 2 ^ z )  ||  A  /\  -.  ( 2 ^ ( z  +  1 ) )  ||  A
) )  +  1 ) )  ||  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350   E!wreu 2351   class class class wbr 3793   iota_crio 5498  (class class class)co 5543   1c1 7044    + caddc 7046   NNcn 8106   2c2 8156   NN0cn0 8355   ^cexp 9572    || cdvds 10340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-q 8786  df-rp 8816  df-fz 9106  df-fl 9352  df-mod 9405  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-dvds 10341
This theorem is referenced by:  oddpwdclemodd  10694
  Copyright terms: Public domain W3C validator