Theorem oeiv 6352

Description: Value of ordinal exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeiv	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem oeiv

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 6320	. . 3 |- 1o e. On
2		vex 2689	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		omexg 6347	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ A e. On ) -> ( x .o A ) e. _V )
4	2, 3	mpan 420	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( x .o A ) e. _V )
5	4	ralrimivw 2506	. . . . 5 |- ( A e. On -> A. x e. _V ( x .o A ) e. _V )
6		eqid 2139	. . . . . 6 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
7	6	fnmpt 5249	. . . . 5 |- ( A. x e. _V ( x .o A ) e. _V -> ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V )
8	5, 7	syl 14	. . . 4 |- ( A e. On -> ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V )
9		rdgexggg 6274	. . . 4 |- ( ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) Fn _V /\ 1o e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V )
10	8, 9	syl3an1 1249	. . 3 |- ( ( A e. On /\ 1o e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V )
11	1, 10	mp3an2 1303	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V )
12		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x .o y ) = ( x .o A ) )
13	12	mpteq2dv 4019	. . . . 5 |- ( y = A -> ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) )
14		rdgeq1 6268	. . . . 5 |- ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) -> rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( y = A -> rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) )
16	15	fveq1d 5423	. . 3 |- ( y = A -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` z ) )
17		fveq2 5421	. . 3 |- ( z = B -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
18		df-oexpi 6319	. . 3 |- ↑o = ( y e. On , z e. On |-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o y ) ) , 1o ) ` z ) )
19	16, 17, 18	ovmpog 5905	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. _V ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
20	11, 19	mpd3an3 1316	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   _Vcvv 2686   |-> cmpt 3989   Oncon0 4285   Fn wfn 5118   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   reccrdg 6266   1oc1o 6306   .o comu 6311   ↑_o coei 6312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-oexpi 6319

This theorem is referenced by:  oei0  6355  oeicl  6358