ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oeiv Unicode version

Theorem oeiv 6067
Description: Value of ordinal exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oeiv  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A𝑜  B )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem oeiv
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 6039 . . 3  |-  1o  e.  On
2 vex 2577 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3 omexg 6062 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A  e.  On )  ->  ( x  .o  A
)  e.  _V )
42, 3mpan 408 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  .o  A )  e.  _V )
54ralrimivw 2410 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  A. x  e.  _V  ( x  .o  A )  e.  _V )
6 eqid 2056 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) )  =  ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) )
76fnmpt 5053 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  _V  (
x  .o  A )  e.  _V  ->  (
x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) )  Fn  _V )
85, 7syl 14 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) )  Fn  _V )
9 rdgexggg 5995 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A
) )  Fn  _V  /\  1o  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `
 B )  e. 
_V )
108, 9syl3an1 1179 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  1o  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B
)  e.  _V )
111, 10mp3an2 1231 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `
 B )  e. 
_V )
12 oveq2 5548 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
x  .o  y )  =  ( x  .o  A ) )
1312mpteq2dv 3876 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  _V  |->  ( x  .o  y ) )  =  ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) )
14 rdgeq1 5989 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  y ) )  =  ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) )  ->  rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  y ) ) ,  1o )  =  rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) )
1513, 14syl 14 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  y ) ) ,  1o )  =  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) )
1615fveq1d 5208 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  y ) ) ,  1o ) `  z
)  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  z
) )
17 fveq2 5206 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  z
)  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B
) )
18 df-oexpi 6038 . . 3  |-𝑜  =  ( y  e.  On ,  z  e.  On  |->  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  .o  y
) ) ,  1o ) `  z )
)
1916, 17, 18ovmpt2g 5663 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B
)  e.  _V )  ->  ( A𝑜  B )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B ) )
2011, 19mpd3an3 1244 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A𝑜  B )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   _Vcvv 2574    |-> cmpt 3846   Oncon0 4128    Fn wfn 4925   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   reccrdg 5987   1oc1o 6025    .o comu 6030   ↑𝑜 coei 6031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-oexpi 6038
This theorem is referenced by:  oei0  6070  oeicl  6073
  Copyright terms: Public domain W3C validator