Theorem omexg 6089

Description: Ordinal multiplication is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A .o B ) e. _V )

Proof of Theorem omexg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2605	. . . 4 |- y e. _V
2		0ex 3907	. . . . 5 |- (/) e. _V
3		vex 2605	. . . . . 6 |- x e. _V
4		omfnex 6087	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) Fn _V )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) Fn _V
6	2, 5	rdgexg 6032	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V )
7	1, 6	ax-mp 7	. . 3 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V
8	7	gen2 1380	. 2 |- A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V
9		df-omul 6064	. . 3 |- .o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) )
10	9	mpt2fvex 5854	. 2 |- ( ( A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A .o B ) e. _V )
11	8, 10	mp3an1 1256	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A .o B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1283   e. wcel 1434   _Vcvv 2602   (/)c0 3252   |-> cmpt 3841   Oncon0 4120   Fn wfn 4921   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   reccrdg 6012   +o coa 6056   .o comu 6057

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-oadd 6063  df-omul 6064

This theorem is referenced by:  fnoei  6090  oeiexg  6091  oeiv  6094  omv2  6103