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Theorem omv2 6109
Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
omv2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem omv2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omfnex 6093 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) )  Fn  _V )
2 0elon 4155 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
3 rdgival 6031 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) )  Fn  _V  /\  (/)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
42, 3mp3an2 1257 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) )  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) ,  (/) ) `  B )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
51, 4sylan 277 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B )  =  (
(/)  u.  U_ x  e.  B  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `
 ( rec (
( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) ,  (/) ) `  x )
) ) )
6 omv 6099 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  B ) )
7 onelon 4147 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
8 omexg 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  _V )
9 omcl 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
10 simpl 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  A  e.  On )
11 oacl 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )
129, 10, 11syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )
13 oveq1 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( A  .o  x )  ->  (
y  +o  A )  =  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
14 eqid 2082 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) )  =  ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) )
1513, 14fvmptg 5280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  _V  /\  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  e.  On )  ->  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `
 ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )
168, 12, 15syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( A  .o  x
) )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
17 omv 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  =  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) )
1817fveq2d 5213 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( A  .o  x
) )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
1916, 18eqtr3d 2116 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
207, 19sylan2 280 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  B ) )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2120anassrs 392 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A  .o  x )  +o  A )  =  ( ( y  e.  _V  |->  ( y  +o  A
) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2221iuneq2dv 3707 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  =  U_ x  e.  B  ( (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) )
2322uneq2d 3127 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )  =  ( (/)  u.  U_ x  e.  B  ( (
y  e.  _V  |->  ( y  +o  A ) ) `  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  ( y  +o  A ) ) ,  (/) ) `  x ) ) ) )
245, 6, 233eqtr4d 2124 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) ) )
25 uncom 3117 . . 3  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )  =  (
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
)  u.  (/) )
26 un0 3285 . . 3  |-  ( U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )  u.  (/) )  =  U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )
2725, 26eqtri 2102 . 2  |-  ( (/)  u. 
U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A
) )  =  U_ x  e.  B  (
( A  .o  x
)  +o  A )
2824, 27syl6eq 2130 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2602    u. cun 2972   (/)c0 3258   U_ciun 3686    |-> cmpt 3847   Oncon0 4126    Fn wfn 4927   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   reccrdg 6018    +o coa 6062    .o comu 6063
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070
This theorem is referenced by:  omsuc  6116
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