Theorem ontr1 4311

Description: Transitive law for ordinal numbers. Theorem 7M(b) of [Enderton] p. 192. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ontr1	|- ( C e. On -> ( ( A e. B /\ B e. C ) -> A e. C ) )

Proof of Theorem ontr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4297	. 2 |- ( C e. On -> Ord C )
2		ordtr1 4310	. 2 |- ( Ord C -> ( ( A e. B /\ B e. C ) -> A e. C ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( C e. On -> ( ( A e. B /\ B e. C ) -> A e. C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   Ord word 4284   Oncon0 4285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290

This theorem is referenced by:  smoiun  6198  nntr2  6399  onunsnss  6805  snon0  6824  ltsopi  7128  prarloclemarch2  7227  pwle2  13193