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Theorem onunsnss 6773
Description: Adding a singleton to create an ordinal. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
onunsnss  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  C_  A
)

Proof of Theorem onunsnss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirr 4426 . . . . 5  |-  -.  B  e.  B
2 elsni 3515 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
32adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  x  =  B )
4 simplr 504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  x  e.  B )
53, 4eqeltrrd 2195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B }
)  e.  On )  /\  x  e.  B
)  /\  x  e.  { B } )  ->  B  e.  B )
65ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  { B }  ->  B  e.  B ) )
71, 6mtoi 638 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  x  e.  { B } )
8 snidg 3524 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  { B } )
9 elun2 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
1110adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
12 ontr1 4281 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  { B } )  e.  On  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1312adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1411, 13mpan2d 424 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) ) )
1514imp 123 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) )
16 elun 3187 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
1715, 16sylib 121 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
187, 17ecased 1312 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  A )
1918ex 114 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  A ) )
2019ssrdv 3073 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  u.  { B } )  e.  On )  ->  B  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465    u. cun 3039    C_ wss 3041   {csn 3497   Oncon0 4255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-sn 3503  df-uni 3707  df-tr 3997  df-iord 4258  df-on 4260
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