ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1st Unicode version

Theorem op1st 5801
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op1st  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A

Proof of Theorem op1st
StepHypRef Expression
1 op1st.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 op1st.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 opexg 3992 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
41, 2, 3mp2an 410 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
5 1stvalg 5797 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
_V  ->  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  U. dom  { <. A ,  B >. } )
64, 5ax-mp 7 . 2  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  U. dom  {
<. A ,  B >. }
71, 2op1sta 4830 . 2  |-  U. dom  {
<. A ,  B >. }  =  A
86, 7eqtri 2076 1  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1259    e. wcel 1409   _Vcvv 2574   {csn 3403   <.cop 3406   U.cuni 3608   dom cdm 4373   ` cfv 4930   1stc1st 5793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-1st 5795
This theorem is referenced by:  op1std  5803  op1stg  5805  1stval2  5810  fo1stresm  5816  eloprabi  5850  algrflem  5878  genpelvl  6668  nqpru  6708  1prl  6711  addnqprlemrl  6713  addnqprlemfl  6715  addnqprlemfu  6716  mulnqprlemrl  6729  mulnqprlemfl  6731  mulnqprlemfu  6732  ltnqpr  6749  ltnqpri  6750  ltexprlemell  6754  recexprlemell  6778  archpr  6799  cauappcvgprlemm  6801  cauappcvgprlemopl  6802  cauappcvgprlemlol  6803  cauappcvgprlemdisj  6807  cauappcvgprlemloc  6808  cauappcvgprlemladdfl  6811  cauappcvgprlemladdru  6812  cauappcvgprlemladdrl  6813  cauappcvgprlem1  6815  cauappcvgprlem2  6816  caucvgprlemm  6824  caucvgprlemopl  6825  caucvgprlemlol  6826  caucvgprlemdisj  6830  caucvgprlemloc  6831  caucvgprlem2  6836  caucvgprprlemell  6841  caucvgprprlemml  6850  caucvgprprlemopu  6855
  Copyright terms: Public domain W3C validator