Theorem op1stb 4399

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1stb.1	|- A e. _V
op1stb.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op1stb	|- |^| |^| <. A , B >. = A

Proof of Theorem op1stb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1stb.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		op1stb.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3	1, 2	dfop 3704	. . . . 5 |- <. A , B >. = { { A } , { A , B } }
4	3	inteqi 3775	. . . 4 |- |^| <. A , B >. = |^| { { A } , { A , B } }
5	1	snex 4109	. . . . . 6 |- { A } e. _V
6		prexg 4133	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
7	1, 2, 6	mp2an 422	. . . . . 6 |- { A , B } e. _V
8	5, 7	intpr 3803	. . . . 5 |- |^| { { A } , { A , B } } = ( { A } i^i { A , B } )
9		snsspr1 3668	. . . . . 6 |- { A } C_ { A , B }
10		df-ss 3084	. . . . . 6 |- ( { A } C_ { A , B } <-> ( { A } i^i { A , B } ) = { A } )
11	9, 10	mpbi 144	. . . . 5 |- ( { A } i^i { A , B } ) = { A }
12	8, 11	eqtri 2160	. . . 4 |- |^| { { A } , { A , B } } = { A }
13	4, 12	eqtri 2160	. . 3 |- |^| <. A , B >. = { A }
14	13	inteqi 3775	. 2 |- |^| |^| <. A , B >. = |^| { A }
15	1	intsn 3806	. 2 |- |^| { A } = A
16	14, 15	eqtri 2160	1 |- |^| |^| <. A , B >. = A

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   C_ wss 3071   {csn 3527   {cpr 3528   <.cop 3530   |^|cint 3771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-int 3772

This theorem is referenced by:  elreldm  4765  op2ndb  5022  1stval2  6053  fundmen  6700  xpsnen  6715