ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  op1stb Unicode version

Theorem op1stb 4237
Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
op1stb.1  |-  A  e. 
_V
op1stb.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op1stb  |-  |^| |^| <. A ,  B >.  =  A

Proof of Theorem op1stb
StepHypRef Expression
1 op1stb.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2 op1stb.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
31, 2dfop 3576 . . . . 5  |-  <. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } }
43inteqi 3647 . . . 4  |-  |^| <. A ,  B >.  =  |^| { { A } ,  { A ,  B } }
5 snexgOLD 3963 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  e.  _V )
61, 5ax-mp 7 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
7 prexgOLD 3974 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
81, 2, 7mp2an 410 . . . . . 6  |-  { A ,  B }  e.  _V
96, 8intpr 3675 . . . . 5  |-  |^| { { A } ,  { A ,  B } }  =  ( { A }  i^i  { A ,  B }
)
10 snsspr1 3540 . . . . . 6  |-  { A }  C_  { A ,  B }
11 df-ss 2959 . . . . . 6  |-  ( { A }  C_  { A ,  B }  <->  ( { A }  i^i  { A ,  B } )  =  { A } )
1210, 11mpbi 137 . . . . 5  |-  ( { A }  i^i  { A ,  B }
)  =  { A }
139, 12eqtri 2076 . . . 4  |-  |^| { { A } ,  { A ,  B } }  =  { A }
144, 13eqtri 2076 . . 3  |-  |^| <. A ,  B >.  =  { A }
1514inteqi 3647 . 2  |-  |^| |^| <. A ,  B >.  =  |^| { A }
161intsn 3678 . 2  |-  |^| { A }  =  A
1715, 16eqtri 2076 1  |-  |^| |^| <. A ,  B >.  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1259    e. wcel 1409   _Vcvv 2574    i^i cin 2944    C_ wss 2945   {csn 3403   {cpr 3404   <.cop 3406   |^|cint 3643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-int 3644
This theorem is referenced by:  elreldm  4588  op2ndb  4832  1stval2  5810  fundmen  6317  xpsnen  6326
  Copyright terms: Public domain W3C validator