Theorem op2nd 6038

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4145	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 422	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6034	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5018	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2158	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   {csn 3522   <.cop 3525   U.cuni 3731   ran crn 4535   ` cfv 5118   2ndc2nd 6030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-2nd 6032

This theorem is referenced by:  op2ndd  6040  op2ndg  6042  2ndval2  6047  fo2ndresm  6053  eloprabi  6087  fo2ndf  6117  f1o2ndf1  6118  xpmapenlem  6736  genpelvu  7314  nqprl  7352  1pru  7357  addnqprlemru  7359  addnqprlemfl  7360  addnqprlemfu  7361  mulnqprlemru  7375  mulnqprlemfl  7376  mulnqprlemfu  7377  ltnqpr  7394  ltnqpri  7395  ltexprlemelu  7400  recexprlemelu  7424  cauappcvgprlemm  7446  cauappcvgprlemopu  7449  cauappcvgprlemupu  7450  cauappcvgprlemdisj  7452  cauappcvgprlemloc  7453  cauappcvgprlemladdfu  7455  cauappcvgprlemladdru  7457  cauappcvgprlemladdrl  7458  cauappcvgprlem2  7461  caucvgprlemm  7469  caucvgprlemopu  7472  caucvgprlemupu  7473  caucvgprlemdisj  7475  caucvgprlemloc  7476  caucvgprlemladdfu  7478  caucvgprlem2  7481  caucvgprprlemelu  7487  caucvgprprlemmu  7496  caucvgprprlemexbt  7507  caucvgprprlem2  7511  suplocexprlemloc  7522  fsum2dlemstep  11196  ctiunctlemfo  11941