Theorem op2ndb 5017

Description: Extract the second member of an ordered pair. Theorem 5.12(ii) of [Monk1] p. 52. (See op1stb 4394 to extract the first member and op2nda 5018 for an alternate version.) (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. _V
cnvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2ndb	|- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Proof of Theorem op2ndb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsn.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
2		cnvsn.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
3	1, 2	cnvsn 5016	. . . . . 6 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }
4	3	inteqi 3770	. . . . 5 |- |^| `' { <. A , B >. } = |^| { <. B , A >. }
5	2, 1	opex 4146	. . . . . 6 |- <. B , A >. e. _V
6	5	intsn 3801	. . . . 5 |- |^| { <. B , A >. } = <. B , A >.
7	4, 6	eqtri 2158	. . . 4 |- |^| `' { <. A , B >. } = <. B , A >.
8	7	inteqi 3770	. . 3 |- |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| <. B , A >.
9	8	inteqi 3770	. 2 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| |^| <. B , A >.
10	2, 1	op1stb 4394	. 2 |- |^| |^| <. B , A >. = B
11	9, 10	eqtri 2158	1 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   {csn 3522   <.cop 3525   |^|cint 3766   `'ccnv 4533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542

This theorem is referenced by:  2ndval2  6047