ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opabex Unicode version

Theorem opabex 5417
Description: Existence of a function expressed as class of ordered pairs. (Contributed by NM, 21-Jul-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex.1  |-  A  e. 
_V
opabex.2  |-  ( x  e.  A  ->  E* y ph )
Assertion
Ref Expression
opabex  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem opabex
StepHypRef Expression
1 funopab 4965 . . 3  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) } 
<-> 
A. x E* y
( x  e.  A  /\  ph ) )
2 opabex.2 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  E* y ph )
3 moanimv 2017 . . . 4  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y ph ) )
42, 3mpbir 144 . . 3  |-  E* y
( x  e.  A  /\  ph )
51, 4mpgbir 1383 . 2  |-  Fun  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
6 opabex.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
7 dmopabss 4575 . . 3  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  C_  A
86, 7ssexi 3924 . 2  |-  dom  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
9 funex 5416 . 2  |-  ( ( Fun  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  /\  dom  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V )
105, 8, 9mp2an 417 1  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   E*wmo 1943   _Vcvv 2602   {copab 3846   dom cdm 4371   Fun wfun 4926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator