ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opabid2 Unicode version

Theorem opabid2 4495
Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction. (Contributed by NM, 11-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
opabid2  |-  ( Rel 
A  ->  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem opabid2
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2605 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2 vex 2605 . . . 4  |-  w  e. 
_V
3 opeq1 3578 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  <. x ,  y >.  =  <. z ,  y >. )
43eleq1d 2148 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  <->  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
5 opeq2 3579 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  <. z ,  y >.  =  <. z ,  w >. )
65eleq1d 2148 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  ( <. z ,  y >.  e.  A  <->  <. z ,  w >.  e.  A ) )
71, 2, 4, 6opelopab 4034 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A )
87gen2 1380 . 2  |-  A. z A. w ( <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A )
9 relopab 4492 . . 3  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y
>.  e.  A }
10 eqrel 4455 . . 3  |-  ( ( Rel  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  /\  Rel  A )  ->  ( { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A  <->  A. z A. w ( <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A ) ) )
119, 10mpan 415 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y
>.  e.  A }  =  A 
<-> 
A. z A. w
( <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A } 
<-> 
<. z ,  w >.  e.  A ) ) )
128, 11mpbiri 166 1  |-  ( Rel 
A  ->  { <. x ,  y >.  |  <. x ,  y >.  e.  A }  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3409   {copab 3846   Rel wrel 4376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-opab 3848  df-xp 4377  df-rel 4378
This theorem is referenced by:  opabbi2dv  4513
  Copyright terms: Public domain W3C validator