ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opabm Unicode version

Theorem opabm 4043
Description: Inhabited ordered pair class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
opabm  |-  ( E. z  z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  <->  E. x E. y ph )
Distinct variable groups:    ph, z    x, z    y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem opabm
StepHypRef Expression
1 elopab 4021 . . 3  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
21exbii 1537 . 2  |-  ( E. z  z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  <->  E. z E. x E. y ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
3 exrot3 1621 . 2  |-  ( E. z E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y E. z ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
4 vex 2605 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
5 vex 2605 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
64, 5opex 3992 . . . . 5  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
76isseti 2608 . . . 4  |-  E. z 
z  =  <. x ,  y >.
8 19.41v 1824 . . . 4  |-  ( E. z ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ( E. z  z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
97, 8mpbiran 882 . . 3  |-  ( E. z ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ph )
1092exbii 1538 . 2  |-  ( E. x E. y E. z ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ph )
112, 3, 103bitri 204 1  |-  ( E. z  z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  <->  E. x E. y ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   <.cop 3409   {copab 3846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-opab 3848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator