Theorem opabm 4202

Description: Inhabited ordered pair class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opabm	|- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )

Distinct variable groups:   ph, z   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4180	. . 3 |- ( z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	exbii 1584	. 2 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
3		exrot3 1668	. 2 |- ( E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
4		vex 2689	. . . . . 6 |- x e. _V
5		vex 2689	. . . . . 6 |- y e. _V
6	4, 5	opex 4151	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
7	6	isseti 2694	. . . 4 |- E. z z = <. x , y >.
8		19.41v 1874	. . . 4 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( E. z z = <. x , y >. /\ ph ) )
9	7, 8	mpbiran 924	. . 3 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph )
10	9	2exbii 1585	. 2 |- ( E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
11	2, 3, 10	3bitri 205	1 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   <.cop 3530   {copab 3988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990

This theorem is referenced by: (None)