ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opeq12d Unicode version

Theorem opeq12d 3585
Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opeq1d.1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
opeq12d.2  |-  ( ph  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
opeq12d  |-  ( ph  -> 
<. A ,  C >.  = 
<. B ,  D >. )

Proof of Theorem opeq12d
StepHypRef Expression
1 opeq1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
2 opeq12d.2 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  D )
3 opeq12 3579 . 2  |-  ( ( A  =  B  /\  C  =  D )  -> 
<. A ,  C >.  = 
<. B ,  D >. )
41, 2, 3syl2anc 397 1  |-  ( ph  -> 
<. A ,  C >.  = 
<. B ,  D >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1259   <.cop 3406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-un 2950  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412
This theorem is referenced by:  nfopd  3594  moop2  4016  fliftfuns  5466  elxp6  5824  dfmpt2  5872  tfrlemi1  5977  qliftfuns  6221  xpassen  6335  xpdom2  6336  dfplpq2  6510  dfmpq2  6511  addpipqqs  6526  mulpipq2  6527  mulpipq  6528  mulpipqqs  6529  mulidnq  6545  addnq0mo  6603  mulnq0mo  6604  addnnnq0  6605  mulnnnq0  6606  nqnq0a  6610  nqnq0m  6611  nq0a0  6613  nq02m  6621  genpdf  6664  genipv  6665  genpelxp  6667  addcomprg  6734  mulcomprg  6736  prplnqu  6776  cauappcvgprlemlim  6817  caucvgprprlemell  6841  caucvgprprlemelu  6842  caucvgprprlemcbv  6843  caucvgprprlemval  6844  caucvgprprlemnkeqj  6846  caucvgprprlemml  6850  caucvgprprlemmu  6851  caucvgprprlemopl  6853  caucvgprprlemlol  6854  caucvgprprlemopu  6855  caucvgprprlemloc  6859  caucvgprprlemclphr  6861  caucvgprprlemexbt  6862  caucvgprprlem1  6865  caucvgprprlem2  6866  addsrmo  6886  mulsrmo  6887  addsrpr  6888  mulsrpr  6889  caucvgsr  6944  addcnsr  6968  mulcnsr  6969  mulresr  6972  pitonnlem2  6981  pitonn  6982  recidpipr  6990  axaddcom  7002  ax0id  7010  axcnre  7013  nntopi  7026  axcaucvglemval  7029  frecuzrdgrrn  9358  frec2uzrdg  9359  frecuzrdgsuc  9365  iseqeq1  9378
  Copyright terms: Public domain W3C validator