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Theorem oprabidlem 5564
Description: Slight elaboration of exdistrfor 1697. A lemma for oprabid 5565. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
oprabidlem  |-  ( E. x E. y ( x  =  z  /\  ps )  ->  E. x
( x  =  z  /\  E. y ps ) )
Distinct variable groups:    x, z    y,
z
Allowed substitution hints:    ps( x, y, z)

Proof of Theorem oprabidlem
StepHypRef Expression
1 ax-bndl 1415 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  \/  ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
) )
2 ax-10 1412 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. x  x  =  y )
3 dtru 4312 . . . . . 6  |-  -.  A. y  y  =  z
4 pm2.53 651 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  A. x A. y
( x  =  z  ->  A. y  x  =  z ) ) )
53, 4mpi 15 . . . . 5  |-  ( ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)  ->  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)
6 df-nf 1366 . . . . . 6  |-  ( F/ y  x  =  z  <->  A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)
76albii 1375 . . . . 5  |-  ( A. x F/ y  x  =  z  <->  A. x A. y
( x  =  z  ->  A. y  x  =  z ) )
85, 7sylibr 141 . . . 4  |-  ( ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)  ->  A. x F/ y  x  =  z )
92, 8orim12i 686 . . 3  |-  ( ( A. y  y  =  x  \/  ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y
( x  =  z  ->  A. y  x  =  z ) ) )  ->  ( A. x  x  =  y  \/  A. x F/ y  x  =  z ) )
101, 9ax-mp 7 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  \/  A. x F/ y  x  =  z )
1110exdistrfor 1697 1  |-  ( E. x E. y ( x  =  z  /\  ps )  ->  E. x
( x  =  z  /\  E. y ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    \/ wo 639   A.wal 1257   F/wnf 1365   E.wex 1397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-v 2576  df-dif 2948  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409
This theorem is referenced by:  oprabid  5565
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