ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabidlem Unicode version

Theorem oprabidlem 5770
Description: Slight elaboration of exdistrfor 1756. A lemma for oprabid 5771. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
oprabidlem  |-  ( E. x E. y ( x  =  z  /\  ps )  ->  E. x
( x  =  z  /\  E. y ps ) )
Distinct variable groups:    x, z    y,
z
Allowed substitution hints:    ps( x, y, z)

Proof of Theorem oprabidlem
StepHypRef Expression
1 ax-bndl 1471 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  \/  ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
) )
2 ax-10 1468 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. x  x  =  y )
3 dtru 4445 . . . . . 6  |-  -.  A. y  y  =  z
4 pm2.53 696 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  A. x A. y
( x  =  z  ->  A. y  x  =  z ) ) )
53, 4mpi 15 . . . . 5  |-  ( ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)  ->  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)
6 df-nf 1422 . . . . . 6  |-  ( F/ y  x  =  z  <->  A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)
76albii 1431 . . . . 5  |-  ( A. x F/ y  x  =  z  <->  A. x A. y
( x  =  z  ->  A. y  x  =  z ) )
85, 7sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y ( x  =  z  ->  A. y  x  =  z )
)  ->  A. x F/ y  x  =  z )
92, 8orim12i 733 . . 3  |-  ( ( A. y  y  =  x  \/  ( A. y  y  =  z  \/  A. x A. y
( x  =  z  ->  A. y  x  =  z ) ) )  ->  ( A. x  x  =  y  \/  A. x F/ y  x  =  z ) )
101, 9ax-mp 5 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  \/  A. x F/ y  x  =  z )
1110exdistrfor 1756 1  |-  ( E. x E. y ( x  =  z  /\  ps )  ->  E. x
( x  =  z  /\  E. y ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682   A.wal 1314   F/wnf 1421   E.wex 1453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-v 2662  df-dif 3043  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503
This theorem is referenced by:  oprabid  5771
  Copyright terms: Public domain W3C validator