ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabrexex2 Unicode version

Theorem oprabrexex2 5996
Description: Existence of an existentially restricted operation abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabrexex2.1  |-  A  e. 
_V
oprabrexex2.2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  e.  _V
Assertion
Ref Expression
oprabrexex2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem oprabrexex2
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oprab 5746 . . 3  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  =  { v  |  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph ) }
2 rexcom4 2683 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  A  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) 
<->  E. x E. w  e.  A  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
3 rexcom4 2683 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. y E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
4 rexcom4 2683 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z E. w  e.  A  ( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) )
5 r19.42v 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  A  ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph )  <->  ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
65exbii 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z E. w  e.  A  ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph )
)
74, 6bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph )
)
87exbii 1569 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. w  e.  A  E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph )  <->  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
93, 8bitri 183 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  A  E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
109exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. x E. w  e.  A  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  E. w  e.  A  ph ) )
112, 10bitr2i 184 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph )  <->  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
1211abbii 2233 . . 3  |-  { v  |  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) }  =  {
v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph ) }
131, 12eqtri 2138 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  =  { v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) }
14 oprabrexex2.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
15 df-oprab 5746 . . . 4  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { v  |  E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }
16 oprabrexex2.2 . . . 4  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  e.  _V
1715, 16eqeltrri 2191 . . 3  |-  { v  |  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }  e.  _V
1814, 17abrexex2 5990 . 2  |-  { v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }  e.  _V
1913, 18eqeltri 2190 1  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   {cab 2103   E.wrex 2394   _Vcvv 2660   <.cop 3500   {coprab 5743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-oprab 5746
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator