ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  optocl Unicode version

Theorem optocl 4585
Description: Implicit substitution of class for ordered pair. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
optocl.1  |-  D  =  ( B  X.  C
)
optocl.2  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( ph  <->  ps ) )
optocl.3  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  ph )
Assertion
Ref Expression
optocl  |-  ( A  e.  D  ->  ps )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, C, y    ps, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    D( x, y)

Proof of Theorem optocl
StepHypRef Expression
1 elxp3 4563 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( <. x ,  y >.  =  A  /\  <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  C ) ) )
2 opelxp 4539 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  C
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) )
3 optocl.3 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  ph )
42, 3sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  C
)  ->  ph )
5 optocl.2 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( ph  <->  ps ) )
64, 5syl5ib 153 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  C
)  ->  ps )
)
76imp 123 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  =  A  /\  <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  C ) )  ->  ps )
87exlimivv 1852 . . 3  |-  ( E. x E. y (
<. x ,  y >.  =  A  /\  <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  C ) )  ->  ps )
91, 8sylbi 120 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ps )
10 optocl.1 . 2  |-  D  =  ( B  X.  C
)
119, 10eleq2s 2212 1  |-  ( A  e.  D  ->  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   <.cop 3500    X. cxp 4507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-opab 3960  df-xp 4515
This theorem is referenced by:  2optocl  4586  3optocl  4587  ecoptocl  6484  ax1rid  7653  ax0id  7654  axcnre  7657
  Copyright terms: Public domain W3C validator