ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordpipqqs Unicode version

Theorem ordpipqqs 6626
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordpipqqs  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ]  ~Q  <Q  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) )

Proof of Theorem ordpipqqs
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enqex 6612 . 2  |-  ~Q  e.  _V
2 enqer 6610 . 2  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
3 df-nqqs 6600 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
4 df-ltnqqs 6605 . 2  |-  <Q  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  /\  y  =  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  /\  ( z  .N  u
)  <N  ( w  .N  v ) ) ) }
5 enqeceq 6611 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  B )  =  ( w  .N  A ) ) )
6 enqeceq 6611 . . . . . 6  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( v  .N  D )  =  ( u  .N  C ) ) )
7 eqcom 2084 . . . . . 6  |-  ( ( v  .N  D )  =  ( u  .N  C )  <->  ( u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) )
86, 7syl6bb 194 . . . . 5  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) ) )
95, 8bi2anan9 571 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  /\ 
[ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  )  <->  ( (
z  .N  B )  =  ( w  .N  A )  /\  (
u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) ) ) )
10 oveq12 5552 . . . . 5  |-  ( ( ( z  .N  B
)  =  ( w  .N  A )  /\  ( u  .N  C
)  =  ( v  .N  D ) )  ->  ( ( z  .N  B )  .N  ( u  .N  C
) )  =  ( ( w  .N  A
)  .N  ( v  .N  D ) ) )
11 simplll 500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  z  e.  N. )
12 simprlr 505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  u  e.  N. )
13 simplrr 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
14 mulcompig 6583 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
1514adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  =  ( y  .N  x ) )
16 mulasspig 6584 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  f )  =  ( x  .N  ( y  .N  f
) ) )
1716adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. ) )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  f )  =  ( x  .N  ( y  .N  f
) ) )
18 simprrl 506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  N. )
19 mulclpi 6580 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
2019adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. ) )  ->  (
x  .N  y )  e.  N. )
2111, 12, 13, 15, 17, 18, 20caov4d 5716 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C
) )  =  ( ( z  .N  B
)  .N  ( u  .N  C ) ) )
22 simpllr 501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  w  e.  N. )
23 simprll 504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  v  e.  N. )
24 simplrl 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  N. )
25 simprrr 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
2622, 23, 24, 15, 17, 25, 20caov4d 5716 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D
) )  =  ( ( w  .N  A
)  .N  ( v  .N  D ) ) )
2721, 26eqeq12d 2096 . . . . 5  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D ) )  <-> 
( ( z  .N  B )  .N  (
u  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  A )  .N  ( v  .N  D ) ) ) )
2810, 27syl5ibr 154 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( z  .N  B )  =  ( w  .N  A )  /\  (
u  .N  C )  =  ( v  .N  D ) )  -> 
( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D
) ) ) )
299, 28sylbid 148 . . 3  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  /\ 
[ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  )  ->  (
( z  .N  u
)  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D
) ) ) )
30 ltmpig 6591 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  (
x  <N  y  <->  ( f  .N  x )  <N  (
f  .N  y ) ) )
3130adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N.  /\  f  e.  N. ) )  ->  (
x  <N  y  <->  ( f  .N  x )  <N  (
f  .N  y ) ) )
3220, 11, 12caovcld 5685 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
3320, 13, 18caovcld 5685 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .N  C )  e.  N. )
3420, 22, 23caovcld 5685 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
3520, 24, 25caovcld 5685 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( A  .N  D )  e.  N. )
3631, 32, 33, 34, 15, 35caovord3d 5702 . . 3  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( z  .N  u )  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( ( w  .N  v )  .N  ( A  .N  D ) )  ->  ( ( z  .N  u )  <N 
( w  .N  v
)  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) ) )
3729, 36syld 44 . 2  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )  /\  ( ( v  e. 
N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. ) ) )  ->  ( ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  /\ 
[ <. v ,  u >. ]  ~Q  =  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  )  ->  (
( z  .N  u
)  <N  ( w  .N  v )  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) ) )
381, 2, 3, 4, 37brecop 6262 1  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ]  ~Q  <Q  [ <. C ,  D >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  D )  <N  ( B  .N  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3409   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   [cec 6170   N.cnpi 6524    .N cmi 6526    <N clti 6527    ~Q ceq 6531   Q.cnq 6532    <Q cltq 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-lti 6559  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-ltnqqs 6605
This theorem is referenced by:  nqtri3or  6648  ltdcnq  6649  ltsonq  6650  ltanqg  6652  ltmnqg  6653  1lt2nq  6658  ltexnqq  6660  archnqq  6669  prarloclemarch2  6671  ltnnnq  6675  prarloclemlt  6745
  Copyright terms: Public domain W3C validator