Theorem ordpipqqs 7175

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipqqs	|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q <Q [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) )

Proof of Theorem ordpipqqs

Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 7161	. 2 |- ~Q e. _V
2		enqer 7159	. 2 |- ~Q Er ( N. X. N. )
3		df-nqqs 7149	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
4		df-ltnqqs 7154	. 2 |- <Q = { <. x , y >. | ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~Q /\ y = [ <. v , u >. ] ~Q ) /\ ( z .N u ) <N ( w .N v ) ) ) }
5		enqeceq 7160	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q <-> ( z .N B ) = ( w .N A ) ) )
6		enqeceq 7160	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( v .N D ) = ( u .N C ) ) )
7		eqcom 2139	. . . . . 6 |- ( ( v .N D ) = ( u .N C ) <-> ( u .N C ) = ( v .N D ) )
8	6, 7	syl6bb 195	. . . . 5 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( u .N C ) = ( v .N D ) ) )
9	5, 8	bi2anan9 595	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) <-> ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) ) )
10		oveq12 5776	. . . . 5 |- ( ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) -> ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) )
11		simplll 522	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> z e. N. )
12		simprlr 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> u e. N. )
13		simplrr 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> B e. N. )
14		mulcompig 7132	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
15	14	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
16		mulasspig 7133	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N f ) = ( x .N ( y .N f ) ) )
17	16	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N f ) = ( x .N ( y .N f ) ) )
18		simprrl 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> C e. N. )
19		mulclpi 7129	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
20	19	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
21	11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	caov4d 5948	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) )
22		simpllr 523	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> w e. N. )
23		simprll 526	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> v e. N. )
24		simplrl 524	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> A e. N. )
25		simprrr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> D e. N. )
26	22, 23, 24, 15, 17, 25, 20	caov4d 5948	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) )
27	21, 26	eqeq12d 2152	. . . . 5 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) <-> ( ( z .N B ) .N ( u .N C ) ) = ( ( w .N A ) .N ( v .N D ) ) ) )
28	10, 27	syl5ibr 155	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N B ) = ( w .N A ) /\ ( u .N C ) = ( v .N D ) ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) ) )
29	9, 28	sylbid 149	. . 3 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) -> ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) ) )
30		ltmpig 7140	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) -> ( x <N y <-> ( f .N x ) <N ( f .N y ) ) )
31	30	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( x <N y <-> ( f .N x ) <N ( f .N y ) ) )
32	20, 11, 12	caovcld 5917	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
33	20, 13, 18	caovcld 5917	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( B .N C ) e. N. )
34	20, 22, 23	caovcld 5917	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
35	20, 24, 25	caovcld 5917	. . . 4 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( A .N D ) e. N. )
36	31, 32, 33, 34, 15, 35	caovord3d 5934	. . 3 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( ( z .N u ) .N ( B .N C ) ) = ( ( w .N v ) .N ( A .N D ) ) -> ( ( z .N u ) <N ( w .N v ) <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) ) )
37	29, 36	syld 45	. 2 |- ( ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) /\ ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. A , B >. ] ~Q /\ [ <. v , u >. ] ~Q = [ <. C , D >. ] ~Q ) -> ( ( z .N u ) <N ( w .N v ) <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) ) )
38	1, 2, 3, 4, 37	brecop 6512	1 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( C e. N. /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q <Q [ <. C , D >. ] ~Q <-> ( A .N D ) <N ( B .N C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3525   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   [cec 6420   N.cnpi 7073   .N cmi 7075   <N clti 7076   ~Q ceq 7080   Q.cnq 7081   <Q cltq 7086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-lti 7108  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-ltnqqs 7154

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7197  ltdcnq  7198  ltsonq  7199  ltanqg  7201  ltmnqg  7202  1lt2nq  7207  ltexnqq  7209  archnqq  7218  prarloclemarch2  7220  ltnnnq  7224  prarloclemlt  7294