Theorem ordsucss 4415

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	|- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4295	. 2 |- ( Ord B -> Tr B )
2		trss 4030	. . . . 5 |- ( Tr B -> ( A e. B -> A C_ B ) )
3		snssi 3659	. . . . . 6 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
4	3	a1i 9	. . . . 5 |- ( Tr B -> ( A e. B -> { A } C_ B ) )
5	2, 4	jcad 305	. . . 4 |- ( Tr B -> ( A e. B -> ( A C_ B /\ { A } C_ B ) ) )
6		unss 3245	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ { A } C_ B ) <-> ( A u. { A } ) C_ B )
7	5, 6	syl6ib 160	. . 3 |- ( Tr B -> ( A e. B -> ( A u. { A } ) C_ B ) )
8		df-suc 4288	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
9	8	sseq1i 3118	. . 3 |- ( suc A C_ B <-> ( A u. { A } ) C_ B )
10	7, 9	syl6ibr 161	. 2 |- ( Tr B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
11	1, 10	syl 14	1 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   u. cun 3064   C_ wss 3066   {csn 3522   Tr wtr 4021   Ord word 4279   suc csuc 4282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-uni 3732  df-tr 4022  df-iord 4283  df-suc 4288

This theorem is referenced by:  ordelsuc  4416  tfrlemibfn  6218  tfr1onlembfn  6234  tfrcllembfn  6247  sucinc2  6335  nndomo  6751  prarloclemn  7300  ennnfonelemhom  11917  ennnfonelemrn  11921