Theorem ordtri2or2exmid 4486

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtri2or2exmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x )

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2exmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2or2exmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or2exmid.1	. . . 4 |- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x )
2		ordtri2or2exmidlem 4441	. . . . 5 |- { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On
3		suc0 4333	. . . . . 6 |- suc (/) = { (/) }
4		0elon 4314	. . . . . . 7 |- (/) e. On
5	4	onsuci 4432	. . . . . 6 |- suc (/) e. On
6	3, 5	eqeltrri 2213	. . . . 5 |- { (/) } e. On
7		sseq1 3120	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( x C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y ) )
8		sseq2 3121	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( y C_ x <-> y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
9	7, 8	orbi12d 782	. . . . . 6 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
10		sseq2 3121	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } ) )
11		sseq1 3120	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
12	10, 11	orbi12d 782	. . . . . 6 |- ( y = { (/) } -> ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
13	9, 12	rspc2va 2803	. . . . 5 |- ( ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
14	2, 6, 13	mpanl12 432	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
15	1, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
16		elirr 4456	. . . . 5 |- -. { (/) } e. { (/) }
17		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } )
18		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> ph )
19		p0ex 4112	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
20	19	prid2 3630	. . . . . . . . 9 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
21		biidd 171	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab3 2841	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } -> ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
23	20, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
24	18, 23	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
25	17, 24	sseldd 3098	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { (/) } )
26	25	ex 114	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> ( ph -> { (/) } e. { (/) } ) )
27	16, 26	mtoi 653	. . . 4 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> -. ph )
28		snssg 3656	. . . . . 6 |- ( (/) e. On -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
29	4, 28	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
30		0ex 4055	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
31	30	prid1 3629	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
32		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
33	32	elrab3 2841	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) , { (/) } } -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
34	31, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
35	34	biimpi 119	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
36	29, 35	sylbir 134	. . . 4 |- ( { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
37	27, 36	orim12i 748	. . 3 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
38	15, 37	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
39		orcom 717	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
40	38, 39	mpbi 144	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   Oncon0 4285   suc csuc 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293

This theorem is referenced by:  onintexmid  4487