ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtri2orexmid Unicode version

Theorem ordtri2orexmid 4274
Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ordtri2orexmid.1  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  y  C_  x )
Assertion
Ref Expression
ordtri2orexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2orexmid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtri2orexmid.1 . . . 4  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  y  C_  x )
2 ordtriexmidlem 4271 . . . . 5  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
3 suc0 4174 . . . . . 6  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
4 0elon 4155 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  On
54onsuci 4268 . . . . . 6  |-  suc  (/)  e.  On
63, 5eqeltrri 2153 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  On
7 eleq1 2142 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  y  <->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  y ) )
8 sseq2 3022 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  C_  x 
<->  y  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
97, 8orbi12d 740 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  y  \/  y  C_  x )  <->  ( {
z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  y  \/  y  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
10 eleq2 2143 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  y  <->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) } ) )
11 sseq1 3021 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( y  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } 
<->  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
1210, 11orbi12d 740 . . . . . 6  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  y  \/  y  C_  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } )  <->  ( {
z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  \/  { (/) } 
C_  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } ) ) )
139, 12rspc2va 2715 . . . . 5  |-  ( ( ( { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On )  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  y  C_  x ) )  -> 
( { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
142, 6, 13mpanl12 427 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  y  C_  x )  ->  ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
151, 14ax-mp 7 . . 3  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  \/  { (/) } 
C_  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } )
16 elsni 3424 . . . . 5  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  ->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) )
17 ordtriexmidlem2 4272 . . . . 5  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
->  -.  ph )
1816, 17syl 14 . . . 4  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  ->  -.  ph )
19 snssg 3530 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  <->  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
204, 19ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  <->  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } )
21 0ex 3913 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
2221snid 3433 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
}
23 biidd 170 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
2423elrab3 2751 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  ( (/) 
e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } 
<-> 
ph ) )
2522, 24ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  <->  ph )
2625biimpi 118 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ->  ph )
2720, 26sylbir 133 . . . 4  |-  ( {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ph )
2818, 27orim12i 709 . . 3  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  C_  { z  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  ph )
)
2915, 28ax-mp 7 . 2  |-  ( -. 
ph  \/  ph )
30 orcom 680 . 2  |-  ( ( -.  ph  \/  ph )  <->  (
ph  \/  -.  ph )
)
3129, 30mpbi 143 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   {crab 2353    C_ wss 2974   (/)c0 3258   {csn 3406   Oncon0 4126   suc csuc 4128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-tr 3884  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator