ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovg Unicode version

Theorem ovg 5667
Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ovg.1  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ps ) )
ovg.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
ovg.3  |-  ( z  =  C  ->  ( ch 
<->  th ) )
ovg.4  |-  ( ( ta  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) )  ->  E! z ph )
ovg.5  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }
Assertion
Ref Expression
ovg  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( A F B )  =  C  <->  th ) )
Distinct variable groups:    ps, x    ch, x, y    th, x, y, z    ta, x, y    x, R, y, z    x, S, y, z    x, A, y, z    x, B, y, z    x, C, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( y, z)    ch( z)    ta( z)    D( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem ovg
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5543 . . . . 5  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
2 ovg.5 . . . . . 6  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }
32fveq1i 5207 . . . . 5  |-  ( F `
 <. A ,  B >. )  =  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )
41, 3eqtri 2076 . . . 4  |-  ( A F B )  =  ( { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )
54eqeq1i 2063 . . 3  |-  ( ( A F B )  =  C  <->  ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  C )
6 eqeq2 2065 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
( { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  c  <->  ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  C ) )
7 opeq2 3578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  C  ->  <. <. A ,  B >. ,  c >.  =  <. <. A ,  B >. ,  C >. )
87eleq1d 2122 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  c >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) )
96, 8bibi12d 228 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  c  <->  <. <. A ,  B >. ,  c >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } )  <->  ( ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) ) )
109imbi2d 223 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S
) )  ->  (
( { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  c  <->  <. <. A ,  B >. ,  c >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) )  <->  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) )  -> 
( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) ) ) )
11 ovg.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ta  /\  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) )  ->  E! z ph )
1211ex 112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta 
->  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  E! z ph ) )
1312alrimivv 1771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ta 
->  A. x A. y
( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  E! z ph ) )
14 fnoprabg 5630 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  E! z ph )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ta 
->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )
16 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  R  <->  A  e.  R ) )
1716anbi1d 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  <->  ( A  e.  R  /\  y  e.  S ) ) )
18 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  S  <->  B  e.  S ) )
1918anbi2d 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  R  /\  y  e.  S
)  <->  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) ) )
2017, 19opelopabg 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } 
<->  ( A  e.  R  /\  B  e.  S
) ) )
2120ibir 170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )
22 fnopfvb 5243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) }  /\  <. A ,  B >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )  ->  (
( { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  c  <->  <. <. A ,  B >. ,  c >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) )
2315, 21, 22syl2an 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) )  -> 
( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  c  <->  <. <. A ,  B >. ,  c >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) )
2410, 23vtoclg 2630 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  D  ->  (
( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S )
)  ->  ( ( { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } `  <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) ) )
2524com12 30 . . . . . 6  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) )  -> 
( C  e.  D  ->  ( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) ) )
2625exp32 351 . . . . 5  |-  ( ta 
->  ( A  e.  R  ->  ( B  e.  S  ->  ( C  e.  D  ->  ( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) ) ) ) )
27263imp2 1130 . . . 4  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } ) )
28 ovg.1 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2917, 28anbi12d 450 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) 
<->  ( ( A  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ps ) ) )
30 ovg.2 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3119, 30anbi12d 450 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( A  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ps ) 
<->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  ch ) ) )
32 ovg.3 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( ch 
<->  th ) )
3332anbi2d 445 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  ch ) 
<->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
3429, 31, 33eloprabg 5620 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  <->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
3534adantl 266 . . . 4  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  <->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
3627, 35bitrd 181 . . 3  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) } `
 <. A ,  B >. )  =  C  <->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
375, 36syl5bb 185 . 2  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( A F B )  =  C  <-> 
( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
38 biidd 165 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) 
<->  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) ) )
3938bianabs 553 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  ( ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) 
<->  th ) )
40393adant3 935 . . 3  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D )  ->  ( ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) 
<->  th ) )
4140adantl 266 . 2  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  /\  th ) 
<->  th ) )
4237, 41bitrd 181 1  |-  ( ( ta  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S  /\  C  e.  D ) )  -> 
( ( A F B )  =  C  <->  th ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   E!weu 1916   <.cop 3406   {copab 3845    Fn wfn 4925   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   {coprab 5541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator