ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovidig Unicode version

Theorem ovidig 5646
Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 5647. The condition  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovidig.1  |-  E* z ph
ovidig.2  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
Assertion
Ref Expression
ovidig  |-  ( ph  ->  ( x F y )  =  z )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem ovidig
StepHypRef Expression
1 df-ov 5543 . 2  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
2 ovidig.1 . . . . 5  |-  E* z ph
32funoprab 5629 . . . 4  |-  Fun  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
4 ovidig.2 . . . . 5  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
54funeqi 4950 . . . 4  |-  ( Fun 
F  <->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } )
63, 5mpbir 138 . . 3  |-  Fun  F
7 oprabid 5565 . . . . 5  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  ph )
87biimpri 128 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )
98, 4syl6eleqr 2147 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  F )
10 funopfv 5241 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. <.
x ,  y >. ,  z >.  e.  F  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z ) )
116, 9, 10mpsyl 63 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  z )
121, 11syl5eq 2100 1  |-  ( ph  ->  ( x F y )  =  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1259    e. wcel 1409   E*wmo 1917   <.cop 3406   Fun wfun 4924   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   {coprab 5541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544
This theorem is referenced by:  ovidi  5647
  Copyright terms: Public domain W3C validator