Theorem ovigg 5891

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovig 5892. The condition ( x e. R /\ y e. S ) is been removed. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovigg.1	|- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )
ovigg.4	|- E* z ph
ovigg.5	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
ovigg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ps -> ( A F B ) = C ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   ps, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)   V( x, y, z)   W( x, y, z)   X( x, y, z)

Proof of Theorem ovigg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovigg.1	. . 3 |- ( ( x = A /\ y = B /\ z = C ) -> ( ph <-> ps ) )
2	1	eloprabga 5858	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ps ) )
3		df-ov 5777	. . . 4 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
4		ovigg.5	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5	4	fveq1i 5422	. . . 4 |- ( F ` <. A , B >. ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. )
6	3, 5	eqtri 2160	. . 3 |- ( A F B ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. )
7		ovigg.4	. . . . 5 |- E* z ph
8	7	funoprab 5871	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph }
9		funopfv 5461	. . . 4 |- ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. ) = C ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } ` <. A , B >. ) = C )
11	6, 10	syl5eq 2184	. 2 |- ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( A F B ) = C )
12	2, 11	syl6bir 163	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ps -> ( A F B ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   E*wmo 2000   <.cop 3530   Fun wfun 5117   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   {coprab 5775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778

This theorem is referenced by:  ovig  5892